1 . 在平行四边形中，连接，若，点为边上一点，连接，交于点．

(1)如图1，若点为中点，对角线与相交于点，且的面积为，，求的长；
(2)如图2，若点在上，且，连接，过作于点，连接并延长交于点，若，用等式表示线段，，的数量关系，并证明；
(3)如图3，若，，点在边上，，且平分，线段（点在点的左侧）在线段上运动，且，连接，，请直接写出的最小值．

2 . 如图，在四边形中，，，，，高，点从点出发，沿运动，点从点出发，沿方向运动，速度均为每秒个单位长度． 、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动，连结、．设点运动时间为（秒）（）．

(1)_______；
(2)用含t的代数式表示的长；
(3)当点P从D向A运动时，四边形始终是平行四边形．请说明理由；
(4)当经过四边形其中一条对角线的中点时，直接写出t的取值范围．

3 . 如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴的负半轴上，直线经过点C，交x轴于点E．

(1)求点A、B的坐标；
(2)求点D的坐标及m的值；
(3)点是线段上的一个动点（不与点O、B重合），经过点P且平行于轴的直线交AB于点M，交CE于点N，当四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
(4)点是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，直接写出：为何值时，以点为顶点的四边形是菱形？

4 . 如图所示，菱形是无锡某乐园主题区域的平面示意图，分别是该区域的四个入口，两条主干道交于点．请你帮助苏州乐园的管理人员解决以下问题：乐园管理人员为提升游客游览的体验感，准备修建三条绿道，其中点M在上，点N在上，且，修建绿道每千米费用为4万元，请你计算修建这三条绿道投入资金的最小值为_______万元．

5 . （1）问题背景：小刚遇到一个这样问题：如图，两条相等的线段，交于点，，连接，，求证：．通过尝试他发现通过平移可以解决这个问题．
证明：过点作且使，连接，
四边形为平行四边形，则       ，

       ，
又，
为等边三角形，
       ，
，即．
请完成证明中的三个填空．并参考小刚同学思考的方法，解决下列问题：
（2）类比运用：如图，与相交于点，，，，，，求线段的长；
（3）联系拓展：如图3，的三条中线分别为，，．三条中线的交点为．若的面积为，则以，，的长度为三边长的三角形的面积等于       (请直接写出答案)．

6 . 如图，在四边形中，，动点P从点A出发，以的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿折线向终点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当点P运动______秒时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形．

   

7 . 如图，在等边三角形中，点为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，．

(1)用等式表示与的数量关系，并证明；
(2)当时，
①直接写出的度数为 　　；
②若为的中点，连接，用等式表示与的数量关系，并证明．

8 . 数学活动课上，张老师出示了一个问题：如图1，在中，，垂足为E，F为的中点，连接，，求证：．
①小芳同学由已知条件中点想到了如图2的辅助线．
②小琳同学由已知条件中点想到了如图3的方法．

（1）请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程；
【类别分析】
（2）小迪同学受此问题启发，将沿着（F为的中点）所在直线折叠，如图4，点C的对应点为点，连接并延长交于点K，在此基础上，小芮同学想：线段与之间会有怎样的数量关系呢?请你判断，并证明；
【学以致用】
（3）小怡同学突发奇想，将沿着过点B的直线折叠，如图5，点A的对应点为点使于点H，折痕交于点M，交于点N．小怡提出一个问题：若的面积为20，，，请直接写出的面积与的面积的比．

9 . 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点已知点A的横坐标为，其中，点的坐标为．

(1)当时，线段的长度为______；
(2)当抛物线经过点时，求的值；
(3)该抛物线与轴的交点为点，当抛物线在点和点A之间的部分（包括、A两点）的最高点和最低点的纵坐标之差为时，求的值；
(4)作点A关于轴的对称点，连接与轴交于点，若抛物线与、分别交于、两点（不与点重合）．当（或）的面积与四边形的面积比为时，直接写出的值．

10 . 如图，点、分别在菱形的边、上，，连结，交延长线于点，若，，则的长为______．