1 . 如图，已知中，，D为斜边上一点，．

（1）如图1，当，求的长；
（2）如图2，作于点F，求证：．

2 . 如图1，矩形中，，E、F分别在、上，四边形为菱形，P是边上的一动点．

（1）____，__；
（2）当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，连接交于点M，当时，求的长．

3 . 如图，在中，，，，若，，则AC的长为______．

4 . 如图，矩形中，为上一点，为上一点，分别沿，折叠，，两点刚好都落在矩形内一点，且，则______．
   

5 . 如图，在长方形纸片中，，，将长方形纸片折叠，使点落在边的点处，折痕为，此时．
（1）求的值；
（2）在边上是否存在一个动点，且不与点、重合，使的周长最小．如果存在求出的周长最小值：如果不存在，请说明理由；
（3）若点，是边上的两个动点，且不与点，重合，．当四边形的周长最小时，其周长的最小值是______．

6 . 如图，将一个智屏手机抽象成一个的矩形，其中，，然后将它围绕顶点A逆时针旋转180度，旋转过程中A、B、C、D的对应点依次为A、E、F、G，则当度时，若旋转角为，则α的大小为______．
   

7 . 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，求的长．

8 . 如图，已知矩形的边长，．动点从出发，在边上以的速度向点匀速运动，同时，动点从出发，在边上以的速度向点匀速运动，与相交于点．
   
（1）经过多少时间，的面积等于矩形面积的？
（2）是否存在时刻，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
（3）求为何值时，？

9 . 已知在中，，，直线经过点，过点、分别向直线作垂线，垂足分别为、，交于点．
（1）如图，若，求证：．
   
（2）如图2，若，则、、之间的数量关系是______．
   
（3）在（2）的条件下，如图3，连接，过点作，交延长线于点，若，，求的长．
   

10 . 某数学课外兴趣小组成员在研究下面三个有联系的问题，请你帮助他们解决：

（1）如图1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，将矩形对折，使得点B、点D重叠，折痕为EF，过点F作AB的垂线交AB于点G，求EF的长；
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，点E，F分别在AB，DC上，点G，H分别在AD，BC上且EF⊥GH，求的值；
（3）如图3，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝AD＝8，BC＝CD＝4，AM⊥DN，点M，N分别在边BC，AB上，求的值．