1 . 如图，在正方形中，点在边上（不与点，重合），于点，交于点，点在上，，的平分线交于点，连接并延长与的延长线交于点．

   

(1)求证：；
(2)点在边上运动时，探究的大小是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，说明理由；
(3)若，当点运动到中点时，求的长．

2 . （1）发现：如图所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，求证：．
（2）探究：如图，在矩形中，为边上一点，且，．将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，直接写出的长．

4 . 如图1，在边长为5的正方形中，点是线段上的动点，连接，过点作交于，垂足为，连接．

(1)当点为的中点时，
①求的值；
②求证：；
(2)如图2，若是的中点，连接，求的最小值．

5 . 同学们还记得教科书中的这个问题吗？如图（1），四边形是正方形，点是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：．书中的提示是：取的中点G，连接，这样易证后得到．在此基础上，请同学们探究以下问题：

(1)如图（2），点E是边上（除点B，C外）的任意一点，其它条件不变，的结论还成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；
(2)如图（3），点E是的延长线上（除点C外）的任意一点，其他条件不变，的结论仍然成立吗？如果成立，写出证明过程；如果不成立，请说明理由；

6 . 如图，正方形的边长为4，点E在上且，F为对角线上一动点，则周长的最小值为________

7 . 如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为________．

8 . 如图，在正方形中，F是的中点，与交于点G．

(1)求证：；
(2)请求出与四边形的面积之比．

10 . 已知：如图①，四边形是正方形，点E在边上，点F在边上，且，连接，记交点为P．

(1)求证：；
(2)如图②，对角线与交于点O，分别与交于点，求证：；
(3)在（2）的条件下，连接，若， ，求的长．