1 . 如图，，是菱形的边，的中点，是菱形的对角线上的动点，若，，则的最小值是______．

2 . 如图，四边形ABCD为矩形，，，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，，则的最小值为______．

   

3 . 如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连．

   

(1)若点E为的中点，求证：F点为的中点；
(2)若点E为的中点，，，求的长；
(3)若正方形边长为4，直接写出的最小值________．

4 . 如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是___________．
   

5 . （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是 _________
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最大值．
（3）方法应用：已知a，b均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（用含a，b的代数式表示）．

6 . 如图，在边长为6的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接．则的最小值为 ___________．

   

7 . 已知正方形的边长为4，为等边三角形，点E在边上，点F在边的左侧．

(1)如图1，若D，E，F在同一直线上，求的长；
(2)如图2，连接，并延长交于点H，若，求证：
(3)如图3，将沿翻折得到，点Q为的中点，连接，若点E在射线上运动时，请直接写出线段的最小值．

8 . 如图，已知正方形的边长为4，点M在上，，点N是上的一个动点，那么的最小值是（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

9 . 如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．

10 . 某兴趣小组的同学将一个矩形和一个等腰直角三角形拼成一个四边形，已知，．

(1)如图1，若为边上的中点，以、为边作平行四边形，则对角线的长是______；
(2)如图2，若为边上任意一点，以、为边作平行四边形，请探究对角线的长是否存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由；
(3)如图3，若为边上任意一点，延长到F，使，再以、为边作平行四边形，请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
(4)如图4，若为直线上任意一点，延长到，使（为常数），以、为边作平行四边形，请探究对角线的长是否也存在最小值？如果存在，请直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．