2 . 综合与实践
问题情境：数学课上，王老师出示了一个问题：
如图1，在四边形中，．求证：．
独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．
实践探究：（2）在原有条件不变的情况下，王老师提出了新问题，请你解答．
①请连接，并直接写出的度数；
②探究线段与的关系，并证明．
问题解决：（3）数学活动小组的同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，保留原题条件，如果给出与之间的数量关系，则图2中所有已经用字母标记的任意两条线段之间的比值均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．
如图2，若，求的值．

4 . 阅读与思考
下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务。

我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角，图1中即弦切角，同学们研究发现：A为圆上任意一点，当弦经过圆心O，且切于点B时，易证：弦切角． 问题拓展：如图2，A是优弧上任意一点，切于点B，求证：． 证明：连接并延长交于点N，连接，如图2所示． ∵是直径， ∴（依据____________________）， ∴．…

任务：
(1)材料中的依据为____________________．
(2)补全剩余的证明过程．

6 . 求证：圆内接四边形的对角互补．
己知：如图，四边形内接于．
求证：．

请根据上图中的辅助线，完成定理的证明过程．
证明：

7 . 如图，已知是弦上一点．

(1)用直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）：
①作线段的垂直平分线，分别交于点，交于点，连接；
②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（两点不重合），连接，，．
(2)求证：．
证明：∵是的垂直平分线，
∴ ① ，
∴，
∵，
∴，
∴，（其依据是 ② ）
∵四边形是圆的内接四边形，
∴，（其依据是 ③ ）
∵，
∴ ④ ，
∵，
∴，
∴．

9 . 在中，，是边上一动点，连接，将绕点顺时针旋转至的位置，使得，连接，交于点，连接．

(1)如图1，当时，若平分，求证：；
(2)如图2，取的中点，连接．猜想与存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，在（2）的条件下，连接．若，当，时，请直接写出的值．

10 . 如图1，在中，点D在边上，若满足，则称点P是点D的“和谐点”．

​

(1)如图2，．
①求证：点P是点D的“和谐点”；
②在边上还存在某一点Q（不与点P重合），使得点Q也是点D的“和谐点”，请在图2中仅用没有刻度的直尺和圆规作图，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
(2)如图3，以点A为原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，C，点P在线段上，且点P是点D的“和谐点”．
①若，求出点P的坐标；
②若满足条件的点P恰有2个，直接写出长的取值范围是           ．