1 . 初步探究
（1）如图1，在四边形中，相交于点O， ，且，则与的数量关系为           ．
迁移探究
（2）如图2，在四边形中，相交于点O，，（1）中与的数量关系还成立吗？如果成立，请说明理由．
拓展探究
（3）如图3，在四边形中， 相交于点O，，且 ，求的长．

3 . 【特例解决】
（1）如图1，经过菱形的三个顶点A、B、D点，过点B作的直径，交边于点F，交于点E，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，．与是什么关系？是什么关系？
【深入探究】
（2）如图2，若不经过点O，，三条线段的关系是否仍然成立？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）在第2问的基础上，求证：．

5 . 如图，四边形是菱形，，点E是边上一动点，连接，在右侧作菱形使得菱形菱形，连接交于点R，连接．

【尝试初探】
（1）求证：；
【深入探究】
（2）若R为中点，求的值；
【拓展延伸】
（3）①若，是等腰三角形，求的值；
②若D，F，G三点共线，连接，求的值．

6 . 如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．

   

(1)【动手操作】
如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
(2)【问题探究】
根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】
如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．

9 . 【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，优弧上任一点C都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船P位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角”有怎样的大小关系？

【解决问题】
(1)数学小组用已学知识判断与“危险角”的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点D，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
   
∵是的外角，
∴       （填“＞”，“＝”或“＜”），
∴       （填“＞”，“＝”或“＜”）；
【问题探究】
(2)如图3，已知线段与直线l，在直线l上取一点P，过A、B两点，作使其与直线l相切，切点为P，不妨在直线上另外任取一点Q，连接，请你判断与的数量关系，并说明理由；
   
【问题拓展】
(3)一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点P处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度（）最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．）
   

10 . 探究与实践
“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：
如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1）



点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上（依据2）
点，，，四点在同一个圆上
(1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________；依据2：__________．
(2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________．

(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，．

①求证：，，，四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．