1 . 如图1，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD．
（1）求证：BD平分∠ABC；
（2）如图2，点E、F分别在AB、BC上，连接EF，M是EF的中点，过M作EF的垂线交BD于P．求证：AE+CF＝PD；
（3）如图3，在（2）条件下，连AF，若AE＝CF，∠DAF＝2∠AFE＝2α，AF＝13，BC＝12，（BC＞AB）．求BD的长．

2 . 定义：有一个角是其对角一半的圆的内接四边形叫做圆美四边形，其中这个角叫做美角．
（1）如图1，若四边形是圆美四边形，则美角______度．
（2）在（1）的条件下，若的半径为10．
①求的长．
②如图2，在四边形中，若平分，求证：．
（3）在（1）的条件下，如图3，若是的直径，用等式直接写出线段，，之间的数量关系．

3 . 如图，是⊙的直径，点分别在两个半圆上（不与点重合），的长分别是关于的方程的两个实数根．
（1）的值为_____；
（2）连接三者之间的等量关系为_____．

4 . 定义：如果三角形的两个内角与满足，那么称这样的三角形为“类直角三角形”．
尝试运用
（1）如图1，在中，，，，是的平分线．

①证明是“类直角三角形”；
②试问在边上是否存在点（异于点），使得也是“类直角三角形”？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．
类比拓展
（2）如图2，内接于，直径，弦，点是弧上一动点（包括端点，），延长至点，连结，且，当是“类直角三角形”时，求的长．

5 . 在中，，，在外有一点，且，则的度数是__________．

6 . 阅读下列材料，并完成相应的任务.

任务：
（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？
依据1：                                                                             
依据2：                                                                
（2）当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：                 （请写出定理名称）.
（3）如图（3），四边形ABCD内接于⊙O，AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C是弧BD的中点，求AC的长.

7 . 如图1，矩形ABCD中，∠ACB＝30°，将△ACD绕C点顺时针旋转α（0°＜α＜360°）至△A'CD'位置．
（1）如图2，若AB＝2，α＝30°，求S_△BCD′．
（2）如图3，取AA′中点O，连OB、OD′、BD′．若△OBD′存在，试判定△OBD′的形状．
（3）当α＝α₁时，OB＝OD′，则α₁＝_____°；当α＝α₂时，△OBD′不存在，则α₂＝_______°．
   

8 . 如图，四边形ABCD内接于，，的半径为5.
（1）如图，连接BD，求BD的长；

（2）如图，连接CA，若CA平分，求的最大值；

（3）如图③，若AC为的直径，求证：.

9 . 如图，是的外接圆，的外角的平分线交于点E，连接CE、BE.
   
（1）求证：；
（2）若，，求劣弧BC的长度.

10 . 如图，AB为⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，且CD平分∠ACB，交AB于点E．

（1）求证：∠ABD＝∠BCD；
（2）若DE＝13，AE＝17，求⊙O的半径；
（3）DF⊥AC于点F，试探究线段AF、DF、BC之间的数量关系，并说明理由．