1 . 【认识定义】已知点、、分别在的边、、上（点不与点重合，点不与点重合，点不与点重合），点为内一点，若，则称点为的等角点．
【初步探究】
（1）如图1，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，点是等边的等角点，则的度数为                ；
（2）如图2，在中，，，点是内一点，当点与点重合，点与点重合，点与点重合时，若，且，试说明：点是的等角点；
【拓展研究】
（3）如图3，等边的边长为，点是的等角点，且的正切值为，求的长（结果用含和的式子表示）；
（4）如图4，在中，，，点是的等角点，且，当的长最短时，连接，求的面积．

3 . （1）如图①，在四边形中，，和是两条对角线，，过点作的垂线交的延长线于点．求的值；
（2）炎热的夏天即将到来，水上乐园成为亲子游玩的好去处．某开发公司将在一片浅水湖建造一个大型的水上乐园，并同时开发三条水上商业步行街．如图②，四边形是项目开发的雏形图，其中，，是三条步行街的入口．，，分别是通向水上乐园的三条步行街（三条街道宽度相同）．根据仪器测量的长约千米，，．同时根据设计要求还要满足．由于招商类型与环境设计的不同，预计段每月平均每千米的租金收入是10万元，段每月平均每千米的租金收入是万元，段每月平均每千米的租金收入是20万元．问是否存在一点，使得三条步行街每月的租金总收入最大．若存在，求出每月租金总收入的最大值，若不存在，请说明理由．

4 . 有公共顶点A的两个正方形与，连接，点M是的中点，连接交于点N．

(1)如图1，当点E，G分别在边上时，直接写出线段与之间的数量关系和位置关系：
(2)如图2，将正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由：
(3)如图3，将正方形绕点A顺时针旋转，当点E在边的延长线上、点G在边上时，连接与相交于点H，
①求的度数；
②连接交于点I，请直接写出的值．

6 . 【问题初探】如图1，在的内接四边形中，，是四边形的一个外角．求证：．

【拓展研究】如图2，已知内接，，点是的中点，过点作，垂足为点．求证：＋．
【解决问题】如图3，已知等腰三角形内接于，，为上一点，连接、，，的周长为，，求的长．

7 . 若三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，如图，若中，，，，且为“准互余三角形”．

(1)求证是一个钝角；
(2)如图，在边上取一点，以为半径作，正好经过点且交于点，交于点，求的长度；
(3)在第（）小题的条件下，连接，求的长．

10 . 【问题背景】小初同学在学习圆周角时了解到：圆内接四边形的对角互补．
如图①，点、、、均为上的点，，则有______°；
【问题探究】爱思考的小初同学发现：如图②，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），若点在运动的过程中始终保持，则的度数恒为．
下面是小初的证明过程：
证明：延长至点使，连接．
缺失（1）
在与中，
，
∴．
∴，
，，
又，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
缺失（2）
请你补全缺失的证明过程．
【结论应用】如图③，点，，，均为上的点，若，点为弧上任意一点（点不与点、重合），且，的半径为2，当点在运动的过程中，四边形的周长的最大值为______．