1 . 如图，在中，，，N是中点，P为上一点，连接，D为内一点，且，点D关于直线的对称点为点E，与交于点M，连接．

(1)依题意补全图形；
(2)求证：；
(3)连接MN，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

2 . 综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“中点”为主题展开讨论．
【问题情景】
如图①，在矩形中，点O是边的中点，点M是边上一动点，点P在线段上（不与点A重合），且满足，连接．

【猜想证明】
（1）判断的形状，并说明理由；
（2）如图②，当点M为边中点时，连接并延长交于点N．求证： ；
【问题解决】
（3）在（2）的条件下，若，作点N关于直线的对称点，连接并延长交矩形的边所在的直线于点E，请直接写出的长．

3 . 如图，在等边中，点在边上，点在的延长线上，且．

(1)求证：；
(2)点关于直线的对称点为，连接，，
①根据题意将图补全；
②在点运动的过程中，和有什么数量关系并证明．

4 . 如图1，在等腰直角三角形中，，，点D在边上，连接，，，连接，．

(1)求证：；
(2)点A关于直线的对称点为M，连接，．
①补全图形并证明；
②试探究，当D，E，M三点恰好共线时，的度数为 　　．

6 . 与关于直线对称，点，分别是边，上的点，且．
   
(1)如图1，若为直角，求证：；
(2)若为钝角如图2，为锐角如图3，是否还成立？请分别写出你的结论，并选择其中一个结论解答．若成立，请补全图形并证明；若不成立，请画出反例（画反例时保留作图痕迹）．

7 . 如图，点在以为直径的半圆上，，，点在线段上运动，点与点关于对称，于点，并交的延长线于点．

(1)求证：；
(2)证明：当线段最短时，与半圆相切；
(3)当点恰好落在上时，求的长度．

8 . 知，点B在射线上，点A是射线上的一个动点（不与点C重合）．点B关于的对称点为点D，连接和，点F在直线上，且满足．小明在探究图形运动的过程中发现：始终成立．

(1)如图1，当时．
①求证：；
②用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明；
(2)当时，直接用等式表示线段、与之间的数量关系是____________．

10 . 如图，在中，，．点是边上的动点，，点关于直线的对称点为，连接．直线与直线交于点．

(1)补全图形；
(2)求的大小；
(3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．