1 . 在中，，，点D为平面内一点．

(1)如图1，若点D在线段上，且，求；
(2)如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明：
(3)若点D满足，当时，请直接写出的最值．

2 . 如图，在每个小正方形的边长为的网格中，圆上点在格点上，点为圆与格线的交点，点是与格线的交点， 的长为圆周长的六分之一，点 是格点．

（1）线段 的长为__________；
（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出圆上一点，使所在直线与圆相切，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________________________．

3 . 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线交轴的负半轴于点，交轴的正半轴于点，交轴于点．

   

(1)______________；
(2)如图1，点在第二象限的抛物线上，连接交轴于点，设点的横坐标为，线段的长为，请直接写出与的函数解析式；
(3)如图2，在（2）的条件下，点在第四象限的抛物线上，点在第一象限的抛物线上，连接交轴于点，若
，求点的坐标并直接写出直线的解析式．

4 . 如图，菱形中，，点坐标为，过点作直线分别交、于点、，交于，点在反比例函数的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积之比为，则值为__________．

5 . 如图1，在直角三角形纸片中，，，．

   

[数学活动]
将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，得到折痕，然后展开铺平；第二步：将绕点顺时针方向旋转得到，点E，C的对应点分别是点F，G，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点．
(1)折痕的长为________；
(2)在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
[数学探究]
(3)如图2，在绕点旋转的过程中，当直线经过点时，求的长；
[问题延伸]
(4)如图3，若直角三角形的两直角边，按上边的[数学活动]的步骤操作，在点从点开始顺时针旋转的过程中，设与的重叠部分的面积为，直接写出的最小值．

6 . 抛物线交轴于两点（在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．

(1)直接写出、两点的坐标；
(2)把抛物线平移后得到抛物线与直线交于、两点，点横坐标为5，求抛物线（用表示）；
(3)在（2）的条件下，抛物线上有两点、，直线，求证直线，交点D横坐标与直线，交点E横坐标相等．

7 . 如图①，在矩形中，点P从边的中点E出发，沿着匀速运动，速度为每秒2个单位长度，到达点C后停止运动，点Q是上的点，，设的面积为y，点P运动的时间为t秒，y与t的函数关系如图②所示．

(1)图①中        ，        ，图②中        ；
(2)当秒时，试判断以为直径的圆是否与边相切？请说明理由；
(3)点P在运动过程中，将矩形沿所在直线折叠，则t为何值时，折叠后顶点A的对应点落在矩形的一边上．

8 . 如图，在中，，，．动点P从点C出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点A匀速运动．过点P作的垂线交射线于点M，当点M不和点B重合时，作点M关于的对称点N．设点P运动时间为t秒（t＞0）．

(1)求的长；
(2)当点M在边上时，求的长；（用含t的代数式表示）
(3)取的中点Q．
①连接、，当点M在边上，且时，求的长；
②连接，当时，直接写出t的值．

9 . 综合与实践
如图，已知正方形OCDE中，顶点，抛物线经过点C、点D，与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴于点F．

(1)求抛物线的解析式，且直接写出点A、点B的坐标；
(2)若点G是抛物线的对称轴上一动点，且使最小，则G点坐标为：______；
(3)在直线（第一象限部分）上找一点P，使得以点P、点B、点F为顶点的三角形与全等，请你直接写出点P的坐标；
(4)点M是射线AC上一点，点N为平面上一点，是否存在这样的点M，使得以点O、点A、点M、点N为顶点的四边形为菱形？若存在，请你直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

10 . 如图，将正方形对折后展开，得折痕，连接．点在边上，连接，将沿折叠，当点的对应点落在的边上时，则的值为______．