2 . 【问题背景】
如图1，在中，将劣弧沿弦所在的直线折叠，使得劣弧恰好过圆心O，圆心O关于直线的对称点为．
   
(1)【探究发现】如图1，连接，并延长交于D，连接．直接写出的度数为__________，与的数量关系为__________；

(2)【深入探究】如图2，将劣弧沿弦所在的直线折叠，弧不经过圆心O，在劣弧上取一点C（不与A、B重合），连接并延长交于点D，连接．猜想与的数量关系，并说明理由；

(3)【拓展应用】如图3，在（2）条件下，若平分，，求的长．

4 . 数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形中，，，在边上取一点M使，将绕点A顺时针旋转度到，以为边作矩形（如图1所示），，连接、交于点N．
   
(1)求证：．小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明，从而得到．请你按照他的思路完成证明过程．
(2)连接，当旋转角时（如图2），求的值．
(3)连接（如图3），当时，小明发现是一个定值，请求出这个值．

5 . “抖空竹”在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．小亮玩“抖空竹”游戏时发现可以将某时刻的情形抽象成数学问题．如图，、分别与相切于点C、D，延长、交于点P，连接、，的半径为2，．

(1)连接，，判断四边形的形状，并说明理由；
(2)若某时刻，与交于点N，求的长．

10 . 综合与实践
【问题情境】
学习完旋转这章内容后，在一次数学活动课上，刘老师让学生用一张矩形纸片（矩形）与一张直角三角形纸片（）进行数学活动，如图1，， ，，点M是和的中点，将绕点M顺时针旋转.

【探究发现】
(1)如图2，自强小组发现，在旋转过程中，当时，四边形是一个特殊的四边形.请你判断四边形的形状，并说明理由；

(2)奋进小组在自强小组的基础上连接，通过探究发现，在旋转过程中，的值始终为定值，请你求出这个定值；
【问题解决】
(3)创新小组提出一个问题，将绕点M继续旋转，当时，边与交于H，如图3，试直接写出线段的长．