1 . 如图，线段为的直径，点在的延长线上，，，点是上一动点，连接，以为斜边在的上方作，且使，连接，则长的最大值为_____．

2 . 如图，正方形中，、分别是、边上的点，将四边形沿直线翻折，使得点、分别落在点、处，且点恰好为线段的中点，交于点，作于点，交于点．若，则________．

3 . 如图，抛物线过点，与x轴的负半轴交于点B，对称轴是直线，连接，过A作轴于C．

(1)求抛物线的表达式；
(2)若M是上的一点，作交于点N，当面积最大时，求点M的坐标；
(3)P是x轴上异于C的一点，过P作轴与抛物线交于Q，连接．当以O，P，Q为顶点的三角形与以O，A，C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标．

4 . 如图，中，，在边上取一点O，以O为圆心，为半径作圆，分别交于点D、E，连接，．

(1)求证：是切线；
(2)若，，求的面积．

6 . 如图，在中，，以为直径的交于点P，点Q是线段的中点，连接并延长交的延长线于点D．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，
①求的半径的长；
②求的长．

7 . 如图1是一款重型订书机，其结构示意图如图2所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点旋转．压杆与伸缩片连接，点在上，可绕点旋转，，，，不使用时，，是中点，且点在的延长线上，则_____cm，使用时如图3，按压使得，此时点落在上，若，则压杆到底座的距离为 ____________________cm．

8 . 在中，点为线段上一动点，点为射线上一动点，连接，．

(1)若，当点在线段上时，交于点，点为中点．
①如图1，若，求的长度；
②如图2，点为线段上一点，连接并延长交的延长线于点．若点为中点，，求证：．
(2)如图3，若．当点在线段的延长线上时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，连接，当取得最小值时，内存在点，使得，当取得最小值时，请直接写出的值．

9 . 已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是_______．

10 . 在矩形中，，，点，分别是边和上的动点，且，连接，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为 _________________．