1 . 【问题初探】：（1）数学活动课上，刘老师给出如下问题：如图1，在四边形中，，垂足为E．求证：．
①如图2，小涵同学从，这个条件出发，给出如下解题思路：得出，作平分交于点F，将转化为与之间的数量关系．
②如图3，小慧同学从结论的角度出发给出如下的解题思路：延长至点G，使，连接，将线段与之间的数量关系转化为线段与之间的数量关系．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】：
（2）刘老师发现之前两名同学都运用了转化思想，证明一条线段是另一条线段的2倍，将长的线段平分或将短的线段倍长，从而转化为证明两条线段相等．为了帮助学生更好地感悟转化思想，刘老师提出了下面的问题，请你解答．
如图4，在中， ，D是边上一点，连接，过点B作于点E，在上截取，连接交于点G．求证：．
【学以致用】：
（3）如图5，在中，，，D是中点，点E在线段上，连接，延长至点F，使，连接，若．求的值．

3 . 如图，矩形中，，点P是对角线上的一个动点（不包含A、C两点），过点P作分别交射线、射线于点E、F．

(1)求证：；
(2)连接，若，且F为中点，求的值；
(3)若，移动点P，使与相似，直接写出的值．

4 . 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)当时，直接写出点A、B、C、D的坐标：

A        ，B        ，C        ，D        ；

(2)如图1，直线交x轴于点E，若，求抛物线的表达式；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交于点F；过点F作，垂足为H．设点P的横坐标为t，记．

①用含t的代数式表示f；

②请直接写出f的最大值为：        ．

5 . 【问题发现】
（1）如图1所示，和均为正三角形，B、D、E三点共线．猜想线段，之间的数量关系为      ；      ；
【类比探究】
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，，，B、D、E三点共线，线段、交于点F．此时，线段，之间的数量关系是什么？请写出证明过程并求出的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3所示，在中，，，， 为的中位线，将绕点A顺时针方向旋转，当所在直线经过点B时，请直接写出的长．

6 . 有一边是另一边的倍的三角形叫做智慧三角形，这两边中较长边称为智慧边，这两边的夹角叫做智慧角．
   
(1)已知为智慧三角形，且最短的边长为，则该智慧三角形的面积为        ；
(2)如图①，在中，，，求证：是智慧三角形；
(3)如图②，是智慧三角形，为智慧边，为智慧角，，点B，C在函数的图象上，点C在点B的上方，且点B的纵坐标为．当是直角三角形时，求k的值．

9 . 如图1：平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，点是抛物线上一点，

(1)求抛物线表达式．
(2)如图2，点是y轴上一点，连接，点P是直线上方抛物线上一个动点，过点P作轴交直线于点E，在射线上取一点F，使得，求周长的最大值及此时点P的坐标．
(3)如图3，将原抛物线沿射线方向平移4个单位长度，平移后抛物线的对称轴与x轴交于点N，射线上有一点G，连接，过点G作的垂线与抛物线交于点M，连接，若，请直接写出点M的坐标．