2 . 【问题提出】
某兴趣小组开展综合实践活动．如图①，在中，，点从点开始出发沿线段向终点匀速运动，点同时从点开始出发沿折线向终点匀速运动，两点同时到达点．连接，设点运动的路程为，的面积为．经探究发现在某范围内是关于的二次函数，并绘制成如图②所示的图象，图②中点的横坐标为5，点的横坐标为8，请根据图①和图②的信息回答问题．

   

【初步感知】
（1）①图①中，的长为______，的长为______；
②求点的纵坐标；
（2）求关于的函数表达式；
【延伸探究】
（3）的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的正切值；
（4）点为中点，点为线段上靠近点的三等分点，连接，当点在上运动时，请求出长度的最小值．

3 . 综合与实践
折纸中蕴藏着丰富的数学知识，也启迪着数学问题的解决．综合实践课上，老师和同学们一起通过折纸，探究数学的奥秘．

【折纸探究】
如图1，在矩形纸片中，点、分别在边和上，将矩形纸片沿折叠，点落在边上的点处，点落在点处，连接，则与的位置关系为______；
折叠一：小明发现，当点和点重合时，连接，如图2，则有，请说明理由；
折叠二：如图3，若矩形是一张A4纸，探究、和三者之间的数量关系，并说明理由；
【解决问题】
小华受【折纸探究】的启发，解决了下面的问题．
如图4，在矩形纸片中，点、分别在边和上，连接、、，平分，，，求的值．（用含有的代数式表示）

4 . 【实践探究】
（1）如图1，在矩形中，，，交于点E，则的值是________；
【变式探究】
（2）如图2，在平行四边形中，，，，交于点E，求的值；
【灵活应用】
（3）如图3，在矩形中，，点E，F分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使得的对应边恰好经过点D，交于点I，过点D作交于点P．若，且与的面积比为，求的值．

   

7 . 【问题呈现】综合实践课上，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图①，的半径为2，点A是外的一个定点，，点P是上的一个动点，连接，作且．当点P在上运动一周时，试探究点Q的运动路径．
【问题解决】经过分析，兴趣小组同学想利用全等三角形的知识解决该问题：如图②，连接，过点A作，且，通过证明，可以确定点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明：1°当点P在直线外时，
如图，过点A作，且，

证明过程缺失

2°当点P在直线上时，．
综上，点Q的运动路径为点M为圆心，2为半径的圆．
【问题延伸】如图③，点A为外一定点，是直角三角形，，，当点P在半径为2的运动一周时，点Q的运动路径长是______．
【能力提升】如图④，在扇形中，，，点C是弧上的动点，连接，以BC为边作正方形，当点C从点A移动至点B时，点D的运动路径长为______．

   

9 . （1）问题提出：如图，为的直径，是的切线．为上的任意一点，连接，且，，则的最小值为______；
（2）问题探究：如图，，，，为内部一点，且满足．当取最小值时，求的长；
（3）问题解决：如图，这是某学校为艺术节设计的矩形活动区域．已知米，米，米，其中表演舞台设计在处，观众席在上方，摄影师在点处．为了方便摄影师录像，需要满足．点处设置休息处，表演结束后从点处离开．现需要修建小路，，已知修建小路的费用为每米元，求修建小路的最少费用．（结果取整数，参考数据：）

10 . 【问题提出】
（1）如图①，在等边中，，则外接圆的半径为______；
【问题探究】
（2）如图②，在矩形中，，点在边上，，且，求的长；
【问题解决】
（3）如图③是某公园中的一个梯形花园，米，，，点到边的距离米．园林设计者想在花园内部种植花卉和草坪．按照设计要求，点，分别在，边上，且满足，在四边形内部种植草坪，花园其他区域种植花卉．已知种植草坪每平方米元，种植花卉每平方米元，请求出种植花卉和草坪的最少费用．