1 . 矩形中，，，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为．
     
(1)观察发现：如图1，若点P恰好在边上，________（填写一个与相似的三角形）；
(2)拓展探究：如图1，若点P恰好在边上，则线段的长为________．
(3)迁移应用：如图2，若E是的中点，的延长线交于点F，其余条件不变，求线段的长．

2 . 在中，，经过点B的直线l（l不与直线重合）与直线的夹角等于，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）问题发现：
①若，如图①，则________；
②若，如图②，则________；
（2）拓展探究：当时，的值有无变化？请仅就图③的情形给出证明；
（3）问题解决：若直线、交于点F，，，请直接写出线段的长．

3 . 【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．

5 . 某学习小组在探究三角形相似时，发现了下面这种典型的基本图形．

   

(1)如图 1，在 中， 直线 l 经过点A，BD⊥直线 l，CE⊥直线l，垂足分别为 D、E．求证：
(2)组员小刘想，如果三个角都不是直角，那么结论是否仍然成立呢? 如图2，将（1）中的条件做以下修改：在 中， D、A、E 三点都在直线l 上，并且有 ，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中的结论还成立吗? 若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

6 . 定义：若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．

   

探究：
(1)如图甲，已知中，你能把分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
(2)一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把图乙第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割如图；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割如图依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形为正整数，设此时小三角形的面积为．
若的面积为1， 求n的值？                 
当时，请写出一个反映，，三者之间关系的等式（不用证明）

7 . 在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点A（0，m），点C（n，0），且m、n满足+＝0．
（1）求点A、C的坐标；
（2）如图1，点D为第一象限内一动点，连CD、BD、OD，∠ODB＝90°，试探究线段CD、OD、BD之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图2，点F在线段OA上，连BF，作OM⊥BF于M，AN⊥BF于N，当F在线段OA上运动时（不与O、A重合），的值是否变化？若变化，求出变化的范围；若不变，求出其值．

8 . 综合与实践
将矩形和按如图1的方式放置，已知点在上（），，连接，．

特例研究
（1）如图1，当，时，线段与之间的数量关系是_______；直线与直线之间的位置关系是_______；
（2）在（1）条件下中，将矩形绕点旋转到如图2的位置，试判断（1）中结论是否仍然成立，并说明理由；
探究发现
（3）如图3，当，时，试判断线段与之间的数量关系和直线与直线之间的位置关系，并说明理由；
知识应用
（4）如图4，在（3）的条件下，连接，，若，请直接写出的值．

9 . 如图1，四边形是正方形，G是边上的一个动点（点G与C，D不重合），以为一边在正方形外作正方形，连接，．我们探究下列图中线段、线段的长度关系及所在直线的位置关系：

（1）①猜想如图1中线段．线段的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2，如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断；
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4－6）且，，，，第（1）题①中得到C的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由；
（3）在第（2）题图5中，连接、，且，，，求的值．

10 . 如图1，若顺次连接四边形ABCD各边中点得的四边形EFGH是矩形，则称原四边形ABCD为“中母矩形”即若四边形的对角线互相垂直，那么这个四边形称为“中母矩形”.
（1）如图2，在直角坐标系xOy中，已知A（4，0），B（1，4），C（4，6），请在格点上标出D点的位置（只标一点即可），使四边形ABCD是中母矩形.并写出点D的坐标.
（2）如图3，以△ABC的边AB，AC为边，向三角形外作正方形ABDE及ACFG，连接CE，BG相交于点O，试判断四边形BEGC是中母矩形？说明理由.
（3）如图4，在Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，E是斜边AC的中点，F是直角边AB的中点，P是直角边BC上一动点，试探究：当PC＝_____时，四边形BPEF是中母矩形？（直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半）