1 . 【提出问题】
（1）已知：菱形ABCD的边长为6，，为等边三角形，当点P与点D重合，点E在对角线AC上时（如图1所示），求的值．
【类比探究】
（2）在上面的问题中，如果把点P沿DA方向移动，使，其余条件不变（如图2），求的值；
【拓展迁移】
（3）在原问题中，当点P在线段DA的延长线上，点E在CA的延长线上时（如图3），设，请直接写出线段AE、AF的长与m有怎样的数量关系．
   

2 . 在中，，经过点B的直线l（l不与直线重合）与直线的夹角等于，分别过点C、A作直线l的垂线，垂足分别为点D、E．
（1）问题发现：
①若，如图①，则________；
②若，如图②，则________；
（2）拓展探究：当时，的值有无变化？请仅就图③的情形给出证明；
（3）问题解决：若直线、交于点F，，，请直接写出线段的长．

3 . 【基础巩固】
(1)如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结，若，求证：．
【尝试应用】
(2)如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，若，求的长．
【拓展提升】
(3)如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点，连结，若，，求菱形的边长．

4 . 某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

（1）问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接CQ，BP与CQ的数量关系是________；
（2）变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由；
（3）解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形，是正方形的中心，连接．若正方形的边长为5，，求正方形的边长．

5 . 如图，在矩形中，，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动，过点作，交于点，动点、的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点动到点时，、两点同时停止运动，设．

（1）求关于的函数关系式；
（2）探究：当为何值时，四边形为梯形？
（3）是否存在这样的点和点，使、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．

6 . 在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).

(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.

7 . 已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究：
(1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由；
(3)如图（3），当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A，B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE＝2BD，请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．

8 . 如图1，在矩形中，，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线方向移动，作关于直线的对称，设点P的运动时间为．

(1)若．
①如图2，当点落在上时，求证：，
②是否存在异于图2的时刻，使得是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的t的值？若不存在，请说明理由．
(2)当P点不与C点重合时，若直线与直线相交于点M，且当时存在某一时刻有结论成立，试探究：对于的任意时刻，结论“”是否总是成立？请说明理由．