1 . 数学研究的路径基本上从特殊到一般．活动课上，王老师带领同学们探索平行四边形的旋转，研究发现，在旋转的某些特殊时刻，图形具有特殊的性质．
中，
，
，将矩形绕点A旋转得到矩形
，当
经过点D时，连接
，线段的长度为 ．
(2)如图2，菱形绕点A旋转得到菱形，当与
共线时，延长
， 
交于点 M，判断四边形
的形状，并说明理由．
(3)如图3，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形．
①当点 B'落在上时，小明发现点 D 也恰好在直线
上．王老师提供了如下思路，请补充完整；，
，
，连接
，直接写出的长．
中，，，将矩形绕点A旋转得到矩形，当经过点D时，连接，线段的长度为 ．(2)如图2，菱形
绕点A旋转得到菱形，当与共线时，延长， 交于点 M，判断四边形的形状，并说明理由．(3)如图3，将平行四边形
绕点A旋转得到平行四边形．①当点 B'落在
上时，小明发现点 D 也恰好在直线上．王老师提供了如下思路，请补充完整；
，，，连接，直接写出的长．
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2 . 如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，
，将
绕点O顺时针旋转，每次旋转
，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点
的坐标是（ ）
，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点B 的对应点的坐标是（ ）
A． | B． | C． | D． |
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3 . 如图，一个钟摆的摆长
为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角
为
，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差
为 ___________________ ．（用含
的式子表示）
为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为 的式子表示）
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4 . 如图所示，在矩形中，
，
．连接对角线
，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边
，分别交于点E，F，当
时，
的长度为______ ．
中，，．连接对角线，将矩形折叠，使点B落在射线上，点B的对应点记为，折痕与边，分别交于点E，F，当时，的长度为
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5 . 如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长
，支撑板长
，
，托板
固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到
，参考数据：
）
，点A到底座
的距离是 
；
(2)为了观看舒适，在（1）中的
调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 
，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
，支撑板长，，托板固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板可绕点D转动．（结果精确到，参考数据：）
，点A到底座的距离是 ；(2)为了观看舒适，在（1）中的
调整成．再将绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线上，则顺时针旋转旋转的角度为 ，此时点A到底座的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
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6 . 为了加快城市发展，保障市民出行方便，某市在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥的长．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在河的对岸选定一个目标作为点
，然后在河岸的这一边选出点
和点
，分别在
的延长线上取点
，使得
于点，且在点
处测得在的
方向上，在点
处测得在点的
方向上，为了减小测量误差，小明和小颖在测量
及
时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．
任务一：表中
________，
________，
________，
________；
任务二：请你根据提供的数据，帮助他们计算桥的长度．（参考数据：
，精确到
．）
的长．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．他们在河的对岸选定一个目标作为点，然后在河岸的这一边选出点和点，分别在的延长线上取点，使得于点，且在点处测得在的方向上，在点处测得在点的方向上，为了减小测量误差，小明和小颖在测量及时都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表（不完整）．课题 | 测量桥的长度 | |||
测量工具 | 测量角度的仪器，皮尺等 | |||
测量示意图 |
| 说明：该桥两侧河岸平行．点 在同一条直线上， 在同一条直线上，且点  都在同平面内． | ||
测量项目 | 第一次 | 第二次 | 平均值 | |
测量数据 |
|
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|
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|
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| |
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________，________，________，________；任务二：请你根据提供的数据，帮助他们计算桥
的长度．（参考数据：，精确到．）
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7 . 如图，等腰直角三角形
中，
，
，
平分
交
于点M，过点M作
，垂足为N，点P为直线上一个动点，以
为边顺时针作
，交直线于点Q．
(1)如图1，当点P在线段
上时，线段，
的数量关系为______，线段
，
，
之间的数量关系为_______．
(2)如图2，当点P在线段
上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)当点P在直线上运动时，
，
，直接写出的长．
中，，，平分交于点M，过点M作，垂足为N，点P为直线上一个动点，以为边顺时针作，交直线于点Q． (1)如图1，当点P在线段
上时，线段，的数量关系为______，线段，，之间的数量关系为_______．(2)如图2，当点P在线段
上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)当点P在直线
上运动时，，，直接写出的长．
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8 . 如图1，点
从等边三角形的顶点出发，沿折线运动到顶点．设点运动的路程为
，
，图2是点运动时
随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ）
从等边三角形的顶点出发，沿折线运动到顶点．设点运动的路程为，，图2是点运动时随变化的关系图象，则等边三角形的边长为（ ） A． | B． | C． | D． |
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9 . 如图，正方形
中，点E、F分别在边
上，
，
，
与
交于点M，与交于点N．有如下结论：①
；②
；③
；④
．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）
中，点E、F分别在边上，，，与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（ ）| A．4个 | B．3个 | C．2个 | D．1个 |
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2024-01-30更新
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33次组卷
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3卷引用：河南省新乡市卫辉市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
10 . 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图①中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为
和
，其中
，
，将和按图②所示方式摆放，其中点与点
重合（标记为点）．当
时，延长交于点
，则四边形
的形状为__________．
绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．
（1）“巧思小组”提出问题：如图③，当
时，过点作
交
的延长线于点
，与交于点
．试猜想线段
和的数量关系，并加以证明；
（2）“聪慧小组”提出问题：如图④，当
时，过点作
于点
，若
，
，则
__________．
和，其中，，将和按图②所示方式摆放，其中点与点重合（标记为点）．当时，延长交于点，则四边形的形状为__________．
绕点逆时针方向旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题．（1）“巧思小组”提出问题：如图③，当
时，过点作交的延长线于点，与交于点．试猜想线段和的数量关系，并加以证明；（2）“聪慧小组”提出问题：如图④，当
时，过点作于点，若，，则__________．
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2024-01-11更新
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123次组卷
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2卷引用：2024年河南省洛阳市涧西区 九年级一模数学模拟试题
