1 . 设数列满足.
(1)证明：为等差数列；
(2)若数列的前项和为，证明：.

2 . 已知正项数列的前项和为，，且．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．

3 . 已知数列满足：，且.设的前项和为，.
(1)证明：是等差数列；
(2)求；
(3)若不等式对恒成立，求实数的取值范围.

4 . 设数列满足，，且.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和.

5 . 数列的前项和为，.
(1)求数列的通项公式；
(2)是否存在正整数使得成等差数列？说明理由.

6 . 数列满足，，，.
(1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
(2)求正整数，使得.

7 . 已知数列：，，…，（，）具有性质：对任意，（），与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和.
(1)分别判断数列0，1，3与数列0，1，3，4是否具有性质；
(2)证明：，且；
(3)证明：当时，，，，，成等差数列.

8 . 已知数列的前项和为，，且当时，，
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设数列满足，求的值.

9 . 数列中，.
(1)求证：数列是等差数列；
(2)若，都有恒成立，求的取值范围.

10 . 若数列满足：存在等差数列，使得集合元素的个数为不大于，则称数列具有性质.
(1)已知数列满足，.求证：数列是等差数列，且数列有性质；
(2)若数列有性质，数列有性质，证明：数列有性质；
(3)记为数列的前n项和，若数列具有性质，是否存在，使得数列具有性质？说明理由.