1 . 给定一个项的实数列，，，，任意选取一个实数，变换将数列，，，变换为数列，，，，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数可以不相同，第次变换记为，其中为第次变换时所选择的实数．如果通过次变换后，数列中的各项均为，则称，，，为“次归零变换”．
(1)对数列，，，，给出一个“次归零变换”，其中．
(2)对数列，，，，，给出一个“次归零变换”，其中．
(3)证明：对任意项的实数列，都存在“次归零变换”．

2 . 已知，考查
①；
②；
③．
归纳出对都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明．

3 . 已知满足，．

（1）求，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明对的猜想.

4 . 当时，，
（Ⅰ）求，，，；
（Ⅱ）猜想与的关系，并用数学归纳法证明.

5 . 已知满足，．

（1）求，并猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明对的猜想.

6 . 已知数列满足,写出它的前5项,并归纳出数列的一个通项公式(不要求证明)

7 . 已知，（其中）
.
(1)求；
(2)求证：当时，．

8 . 已知数列，与函数，，满足条件：，.
（I）若，，，存在，求的取值范围并求（用表示）；
（II）若函数为上的增函数，，，，证明：对任意，．

9 . 用数学归纳法证明：

10 . 已知数列满足：，
（I）求得值；
（II）设，试求数列的通项公式；
（III）对任意的正整数，试讨论与的大小关系.