1 . （1）已知，求证：.
（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？

2 . 记是定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：
①对任意的，都有；
②存在常数，使得对任意的、，都有.
（1）设函数，，判断函数是否属于？并说明理由；
（2）已知函数，求证：方程的解至多一个；
（3）设函数，，且，试求实数的取值范围.

3 . 设函数，，且对所有的实数，等式都成立，其、、、、、、、，、．
（1）如果函数，，求实数的值；
（2）设函数，直接写出满足的两个函数；
（3）如果方程无实数解，求证：方程无实解．

4 . 已知函数.
（1）求证：是上的奇函数；
（2）求的值；
（3）求证：在上单调递增，在上单调递减；
（4）求在上的最大值和最小值；
（5）直接写出一个正整数，满足．

5 . 已知且.
（Ⅰ）求证：.
（Ⅱ）求的最大值.

6 . 已知函数.
(1)求函数的定义域;
(2)判断函数的奇偶性,并用定义证明你的结论.

7 . （1）已知、、、是正实数，求证：，当且仅当时等号成立；
（2）求的最小值，并指出取最小值时的值.

8 . 已知集合，且中的元素个数大于等于5.若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”.
分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；
已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得.若，求证：是等差数列；
集合是“独立的”，求证：存在，使得.

9 . 已知函数，其中．
（1）当时，求证：函数是偶函数；
（2）已知，函数的反函数为，若函数在区间上的最小值为，求函数在区间上的最大值．

10 . 已知中，内角、、的对边分别为、、，且.
（Ⅰ）求证：、、成等差数列；
（Ⅱ）求函数取得最大值时角的值．