1 . 设A为非空集合，令，则的任意子集R都叫做从A到A的一个关系(Relation)，简称A上的关系．例如时，{0，2}，，，{(0，0)，(2，1)}等都是A上的关系．设R为非空集合A上的关系．给出如下定义：
①(自反性)若，有，则称R在A上是自反的；
②(对称性)若，有，则称R在A上是对称的；
③(传递性)若，有，则称R在A上是传递的；
如果R同时满足这3条性质，则称R为A上的等价关系．
(1)已知，按要求填空：
①用列举法写出______________________；
②A上的关系有____________个(用数值做答)；
③用列举法写出A上的所有等价关系：{(0，0)，(1，1)，(2，2)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，1)，(1，0)}，{(0，0)，(1，1)，(2，2)，(0，2)，(2，0)}，_______________，_______________，共5个．
(2)设和是某个非空集合A上的关系，证明：
①若，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；
②若，是传递的，则也是传递的．
(3)若给定的集合A有n个元素()，，，．．．，为A的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为A上的等价关系．

3 . 选用恰当的证明方法，证明下列不等式.
（1）已知实数，均为正数，求证：.
（2）已知，都是正数，并且，求证：.

4 . 已知集合.
（1）求证：函数；
（2）某同学由（1）又发现是周期函数且是偶函数，于是他得出两个命题：①集合中的元素都是周期函数；②集合中的元素都是偶函数，请对这两个命题给出判断，如果正确，请证明；如果不正确，请举出反例；
（3）设为非零常数，求的充要条件，并给出证明.

5 . 完成下列证明：
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求证：.

6 . 证明下列不等式：
(1)用分析法证明：；
(2)已知是正实数，且，求证：.

7 . 函数的定义域为D，若存在正实数k，对任意的，总有，则称函数具有性质．
(1)判断下列函数是否具有性质，并说明理由；
①；
②；
(2)已知为二次函数，若存在正实数k，使得函数具有性质．求证：是偶函数；
(3)已知，k为给定的正实数，若函数具有性质．求a的取值范围．

9 . 给定正整数，设集合．对于集合中的任意元素和，记．设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质．
(1)判断集合是否具有性质？说明理由；
(2)判断是否存在具有性质的集合，并加以证明．

10 . 已知函数，．
(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(2)当时，证明：函数在上单调递减；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．