解题方法
1 . 已知向量
与向量
的对应关系可用
表示.
(1)证明:对于任意向量
,
及常数m,n,恒有
成立;
(2)设
,
,求向量
及
的坐标;
(3)求使
成立的向量
.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ccc04dc7b6641bf952daad9ef0997d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8acb51ec302e0df826ec67a5aeedd4a9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0e0e8b77133bc519162f519e42b1f463.png)
(1)证明:对于任意向量
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/64c5562bd4d1b54424330cb6329cd79d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b45ba716f03748c19b7ce2f99af536ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4d99a1dabace6b00a0a70e09c7af43f0.png)
(2)设
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/78b3515de9a26c0397039e077f272b1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7d3ce134a42f342277ff7b53f6b1324f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3eadcaa2e51643c637a490aef7bff19d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bba365f31076d7e75f149f284ae081b4.png)
(3)求使
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9412addd95de4764030cfdbe77e78e3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/73a0b19e69be46452425916a0fcb49c9.png)
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2023-04-13更新
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104次组卷
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3卷引用:4.2平面向量及运算的坐标表示 课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册
4.2平面向量及运算的坐标表示 课后巩固提升习题2020-2021学年高一下学期数学北师大版(2019)必修第二册第二章 4.2平面向量及运算的坐标表示-北师大版(2019)高中数学必修第二册(已下线)6.3.2+6.3.3+6.3.4平面向量的正交分解及坐标表示【第三练】“上好三节课,做好三套题“高中数学素养晋级之路
2021高一上·江苏·专题练习
2 . 阅读与探究
人教
版
普通高中课程标准实验教科书数学
必修
在第一章的小结中写道:将角放在直角坐标系中讨论不但使角的表示有了统一的方法,而且使我们能够借助直角坐标系中的单位圆,建立角的变化与单位圆上点的变化之间的对应关系,从而用单位圆上点的纵坐标、横坐标来表示圆心角的正弦函数、余弦函数
因此,正弦函数、余弦函数的基本性质与圆的几何性质
主要是对称性
之间存在着非常紧密的联系
例如,和单位圆相关的“勾股定理”与同角三角函数的基本关系有内在的一致性;单位圆周长为
与正弦函数、余弦函数的周期为
是一致的;圆的各种对称性与三角函数的奇偶性、诱导公式等也是一致的等等
因此,三角函数的研究过程能够很好地体现数形结合思想.
下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图,角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线,重足为M.根据三角函数定义.我们有:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/740c4e02ea44059a742fe712b33ed5c8.png)
如图.过点A(1,0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?),设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA,AT.我们有
.我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP、OM、AT,分别叫做角a的正弦线、余弦线、正切线,统称为三角函数线.单位圆中的三商品数线是数形结合的有效工具,借助它,不但可以画出准确的三角函数图象,还可以讨论三角函数的性质.
依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数
的性质.比如:由图可知,角
的终边落在四个象限时均存在正切线;角
的终边落在
轴上时,其正切线缩为一个点,值为
;角
的终边落在
轴上时,其正切线不存在;所以正切函数
的定义域是
.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/885304dd7a7a43dfac7bb725042a64fa.png?resizew=265)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/c3d888c72d8f405ea7293bb622899689.png?resizew=265)
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数
的单调性和奇偶性;
(2)根据阅读材料中图,若角
为锐角,求证:
.
人教
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/33b0e787c1d82071c825975348698f58.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/62e7b83c183b2a67a0cc04f5fc47f68c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/34d6ab1c9400857cb5ce47ad8f50535c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c90282d4a37c9a20620d4bbb0c263cae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fd995178601c2ad7b40f973d268c7bb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/04582116cd765fcc5a52f44279ad6c94.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c90282d4a37c9a20620d4bbb0c263cae.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e9fdc1f8ed0ae44b54a9a2a3aca2db4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7e9fdc1f8ed0ae44b54a9a2a3aca2db4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c90282d4a37c9a20620d4bbb0c263cae.png)
下而我们再从图形角度认识一下三角函数.如图,角a的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的重线,重足为M.根据三角函数定义.我们有:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/740c4e02ea44059a742fe712b33ed5c8.png)
如图.过点A(1,0)作单位圆的切线.这条切线必然平行于y轴(为什么?),设它与a的终边(当a为第一、四象限角时)或其反向延长线(当a为第二、三象限角时)相交于点T.根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA,AT.我们有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23ec27d59fa0c166dc078460a0690002.png)
依据上述材料,利用正切线可以讨论研究得出正切函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a869a76555f3369728f9005863bdb8eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c95b6be4554f03bf496092f1acdfbb89.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a869a76555f3369728f9005863bdb8eb.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f6cdfc42c5f968c9ca9f7fe7520935a7.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/885304dd7a7a43dfac7bb725042a64fa.png?resizew=265)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2022/1/4/2887303024148480/2952182990020608/STEM/c3d888c72d8f405ea7293bb622899689.png?resizew=265)
(1)请利用单位圆中的正切线研究得出正切函数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a869a76555f3369728f9005863bdb8eb.png)
(2)根据阅读材料中图,若角
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cf518a285ac88c15cd81a5371e391f9e.png)
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3 . 由倍角公式
,可知
可以表示为
的二次多项式,对于
,我们有
,可见
也可以表示为
的三次多项式.一般地,存在一个
次多项式
,使得
,这些多项式
称为切比雪夫
多项式.(提示:
)如图,在等腰
中,已知
,
,且
的外接圆半径
,结合上述知识,可得
( )
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/26/9f49d2b4-615c-4ca8-8c3a-57ce6f90a908.png?resizew=137)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/32eac4b7f177c041219fab18de973c5f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a9ba9745c01bcc7c3b62a4ee6dd60a3a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66db91bb3be9e2b6ad567774e3699758.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2d6c547202109017a8fd210e12b32ba.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a759690de33a391408f00f618bec2094.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2d6c547202109017a8fd210e12b32ba.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66db91bb3be9e2b6ad567774e3699758.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6fb54c94f215d294a68aae1111c4f83a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c108c2f306c818bdfd504cf642bb1359.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6fb54c94f215d294a68aae1111c4f83a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/53c6de97e914bac0c24d857d6280b95e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cbfec0a7cd7ba1232380d12dcd470a72.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b44e29502b61bf016535d8b46de3db02.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/047dc9795efa99b6fb9fdf9778085dab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/98c78f77e5b86ccd537e5f027de9ffe2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/16ca90e8a784f990c4097eec9219908d.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/12/26/9f49d2b4-615c-4ca8-8c3a-57ce6f90a908.png?resizew=137)
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2021-12-06更新
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1268次组卷
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8卷引用:江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研数学试题
(已下线)江苏省南通市如皋市2021-2022学年高三上学期期中教学质量调研数学试题 (已下线)2020年高考北京数学高考真题变式题6-10题(已下线)专题02 三角函数与解三角形(突破训练)-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练(全国通用)陕西省西安铁一中滨河高级中学2021-2022学年高三上学期学情调查(六)理科数学试题(已下线)第33讲 章末检测五-备战2023年高考数学一轮复习考点帮(新高考专用)(已下线)专题19 切比雪夫(已下线)第二篇 函数与导数专题5 切比雪夫、帕德逼近 微点4 切比雪夫逼近与帕德逼近综合训练(已下线)压轴题三角函数新定义题(九省联考第19题模式)练
4 . 定义一种新的运算:
,其中
是
与
的夹角.已知在
中,记
与
的夹角为
,
,
.
(1)试用a来表示
;
(2)求a的取值范围;
(3)记
,求
的最大值及相应的
值.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d79002275d5692e2f316a7e5cf6d9b50.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c24095e409b025db711f14be783a406c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cb80eb942aafb194fadc473776f35b1d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/433b94c39737727e53468df419d8314a.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/15c0dbe3c080c4c4636c64803e5c1f76.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f9795e7f5cb9b366776c41d8f3f43942.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be64d59ac6538a0f4d79fb825e082081.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/66d3249bb162f76416a37c6964c21304.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc9b5d81950327b0ec33a9e29bd1ac83.png)
(1)试用a来表示
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a4d50aea0c3402e3e6e300599c6ac6f.png)
(2)求a的取值范围;
(3)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3b5cac4a5d9b0a368c11555811e8eb2c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09f86f37ec8e15846bd731ab4fcdbacd.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e170f206fdbbd834aad7580c727e2cc6.png)
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5 . 定义
.若向量
,向量
为单位向量,则
的取值范围是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a10bbbb610020a2eb32b97723f7b0b35.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d1c7c662ddd89c6933a7ef833c2d461.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ee437e6ff470c2f67b8429f57b90ae37.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/516834df4d567c6d385afd6b44860ebc.png)
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2021-09-24更新
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1127次组卷
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3卷引用:北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第三章 第三节 课时2 空间向量的坐标表示及应用
北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第三章 第三节 课时2 空间向量的坐标表示及应用江苏省南通市海安高级中学2021-2022学年高三上学期期中模拟数学试题(已下线)10.2 平面向量的数量积(精练)-【一隅三反】2022年高考数学一轮复习(新高考地区专用)
2013·黑龙江齐齐哈尔·二模
名校
解题方法
6 . 定义运算:
,将函数
的图象向左平移
的单位后,所得图象关于
轴对称,则
的最小值是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4402623f6364a12571fec757adce6b43.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/39f983b9005cf72faa198a3373583383.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a1f07948e9258b482a2164ac871f90f9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
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2021-09-12更新
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1361次组卷
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14卷引用:河北省衡水市武强中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题
河北省衡水市武强中学2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题(已下线)2013届黑龙江省齐齐哈尔市高三二模文科数学试卷【全国百强校】贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第四套模拟考试数学(理)试题(已下线)河北省衡水中学2019届高三年级六调考试理科数学试题(已下线)2020届高三12月第02期(考点04)(文科)-《新题速递·数学》河北省衡水中学2019届高三下学期六调数学(理)试题2020届陕西省咸阳市武功县高三上学期第二次模拟考试数学(理科)试题(已下线)专题07 三角函数图象及其性质-2020年高考数学(文)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(已下线)专题07 三角函数图象及其性质——2020年高考数学(理)母题题源解密(全国Ⅰ专版)(已下线)专题5.9三角函数章末测试(培优卷)-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典(人教A版2019必修第一册)甘肃省静宁县第一中学2020-2021学年高三上学期第三次模拟考试数学(理)试题河南省濮阳市2021-2022学年高一上学期期末数学试题重庆市南开中学校2021-2022学年高一下学期第一次月考数学试题浙江省北斗联盟2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
7 . 对于集合
和常数
,定义:
为集合
相对常数
的“余弦方差”.若集合
,则集合A相对常数
的“余弦方差”为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/500c27670bbef3b5e3e3debb540542b1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a4438bae1705c0f26beddf41322c087.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/19d2ecdaf33fdab58312f7904ecff30f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/500c27670bbef3b5e3e3debb540542b1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a4438bae1705c0f26beddf41322c087.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6d563687b58b1a9f8de35a42b0428cb4.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a4438bae1705c0f26beddf41322c087.png)
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解题方法
8 . 海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐,一般早潮叫潮,晚潮叫汐.在通常情况下,船在涨时驶进航道,靠近船坞;卸货后落潮时返回海洋,下面是某港口在某季节每天的时间与水深值(单位:m)记录表.
据分析,这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述.
(1)根据表中数据,做出函数简图:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/28/75adb33a-5d5a-42e9-a3c8-e4a133d09237.png?resizew=456)
(2)结合数据、图像等因素,选用你认为恰当的三角函数,求出解析式;并估计11:00时的水深值;
(3)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为
,安全条例规定至少要有
的安全间隙(船底与海底的距离),该船何时能进入港口?在港口能停多久?
时刻(t) | 0:00 | 3:00 | 6:00 | 9:00 | 12:00 | 15:00 | 18:00 | 21:00 | 24:00 |
水深值(s) | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 | 7.5 | 5.0 | 2.5 | 5.0 |
(1)根据表中数据,做出函数简图:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/28/75adb33a-5d5a-42e9-a3c8-e4a133d09237.png?resizew=456)
(2)结合数据、图像等因素,选用你认为恰当的三角函数,求出解析式;并估计11:00时的水深值;
(3)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d155448a4a2d79bae733c4ddb7572cb7.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1f508e94d92781e050568ac10e5b3136.png)
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2021-07-29更新
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445次组卷
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5卷引用:辽宁省葫芦岛市2020-2021学年高一下学期期末数学试题
辽宁省葫芦岛市2020-2021学年高一下学期期末数学试题(已下线)5.7 三角函数的应用(精讲)-2021-2022学年高一数学一隅三反系列(人教A版2019必修第一册)(已下线)专题5.13 三角函数的应用-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列(人教A版2019必修第一册)江西省吉安市井冈山大学附属中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题江西省宜春市宜丰县宜丰中学2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题
9 . 中国数学家华罗庚倡导的“
优选法”在各领域都应用广泛,
就是黄金分割比
的近似值,古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割率,黄金分割率的值也可以用
表示,即
,则
的值为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8664a837eed36c57a7af7ce08bf47a4f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8664a837eed36c57a7af7ce08bf47a4f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5c8382dcdb655ab1d049f8dba22fa467.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0d3caf448beca2df4d2427360e93b599.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a2268e01c5ae717b00e740bea1f1cc75.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/521debf7313e7353d113c384e29eea76.png)
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2021-07-18更新
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547次组卷
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5卷引用:湖南省天壹名校联盟2020-2021学年高一下学期3月大联考数学试题
湖南省天壹名校联盟2020-2021学年高一下学期3月大联考数学试题河南省焦作市温县第一高级中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学(文)试题(已下线)专题24 毕达哥拉斯(已下线)【高中数学数学文化鉴赏与学习】 专题24 毕达哥拉斯(以毕达哥拉斯(定理)为背景的高中数学考题题组训练)广东省揭阳市揭西县2023-2024学年高一上学期期末数学试题
名校
10 . 水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R的水车,一个水斗从点
出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时12秒.经过t秒后,水斗旋转到P点,设点P的坐标为
,其纵坐标满足
,则下列结论正确的是( )
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6bcf20c671a7acbcd10944a2e856fb4b.png)
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2021-07-10更新
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348次组卷
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3卷引用:湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2020-2021学年高一下学期期中联考数学试题