1 . 已知两个非零向量，，将向量绕着它的起点沿逆时针方向旋转（）弧度后，其方向与向量的方向相同，则叫做向量到的角．已知非零向量到的角为，数量叫做向量与的运算，记作，即．根据此定义，不难证明以下性质：
①；
②；
③．
(1)利用以上性质证明：；
(2)设到的角为，定义．当时，则表示△OAB面积；当时，则表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；

②在平面直角坐标系中，记向量，，△ABC各顶点坐标分别为，，，求证：△ABC面积为．

2 . 定义域为的函数满足：对任意，都有，则称具有性质.
(1)分别判断以下两个函数是否具有性质：和；
(2)函数，判断是否存在实数，，使具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）结论下，若方程（为常数）在区间上恰有三个实数根，，，求的值.

3 . 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．于是根据定义若为区间上的下凸函数，则对任意的，有；若为区间上的上凸函数，则对任意的，有．
(1)已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；参考公式：
(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求的取值范围．

4 . 定义两个非零平面向量的一种新运算，其中表示，的夹角，则对于两个非零平面向量，，下列结论一定成立的有（       ）

A．在上的投影向量为	B．
C．	D．若，则与平行

5 . 定义两个平面向量的一种运算，为的夹角，则对于两个平面向量，下列结论正确的有（    ）

A．

B．

C．

D．若，则

6 . 对于任意实数a，b，c，d，表达式称为二阶行列式，记作．
(1)求下列行列式的值：
①；②
(2)求证：向量与向量共线的充要条件是；
(3)讨论关于，的二元一次方程组（）有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）

7 . 对任意的两个向量，定义一种向量运算“*”：，（是任意的两个向量）．对于同一平面内的向量，，下列结论正确的是（       ）

A．	B．
C．	D．若是单位向量，则

8 . 如图所示，角（）的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，其终边与单位圆的交点为，分别过点作轴的垂线，过点作轴的垂线交角的终边于，，根据三角函数的定义，．现在定义余切函数，满足，则下列表示正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（       ）

A．若，则

B．若，，则

C．若中，，，，则

D．若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形

10 . 摆线，又称旋轮线、圆滚线，是最速降线问题的解．在数学中，摆线的定义为：一个圆沿一条直线滚动时，圆边界上一定点所形成的轨迹．已知一个半径为2的圆，沿着x轴转动，角速度为，如图，为描述圆边界上从原点出发的点所形成的轨迹，写出其横坐标关于旋转时间的函数表达式________；其纵坐标关于旋转时间t的函数表达式________．