1 . 在数列中，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.

2 . 已知无穷数列，，，…，，…．
(1)求这个数列的第10项和第31项．
(2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？
(3)证明：不是这个数列中的项．

3 . 如果数列中，在时恒成立，求证：是等比数列．

4 . 已知等差数列的公差为d，求证：对于任意的正整数m，n，有．

5 . 在数列中，，.
(1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

6 . 设，，，是等差数列的项，且．求证：．

7 . 已知和为项数相同的等比数列，公比分别为和．求证：为等比数列，其公比为．

8 . 已知是等差数列，当时，其中、、、均为正整数，求证：．

9 . 如图，有边长为1的正方形，取其对角线的一半，构成新的正方形，再取新正方形对角线的一半，构成正方形……如此形成一个边长不断缩小的正方形系列．

(1)求这一系列正方形的面积所构成的数列，并证明它是一个等比数列；
(2)从原始的正方形开始，到第9次构成新正方形时，共有10个正方形，求这10个正方形面积的和；
(3)如果把这一过程无限制地延续下去，你能否预测一下，全部正方形面积相加“最终”会达到多少？

10 . 等比数列的各项均为正数，且，设.
(1)求数列的通项公式；
(2)已知数列，求证：数列的前项和.