1 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

2 . 已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，记与的等差中项为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和；
（Ⅲ）设集合，，等差数列的任意一项，其中是中的最小数，且，求的通项公式.

3 . 对于数列,如果存在一个正整数,使得对任意,都有.成立,那么,就把这样的一类数列称作周期为的周期数列,的最小值称作数列的最小正周期,简称周期:例如:当时,是周期为1的周期数列:当时,是周期为4的周期数列.
(1)设数列满足(不同时为0),求证:数列是周期数列,并求数列前2020项和;
(2)设数列前项和为,且;
①若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
②若,试判断是否为周期数列,并说明理由;
(3)设数列满足,数列前项和为,试问是否存在,使对任意,都有成立,若存在,求出的取值范围,若不存在,说明理由.

4 . 已知数列是等比数列,且,,数列满足:对于任意,有.
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:,,设,当且仅当时,取得最大值,求的取值范围.

5 . 已知数列，满足；
（1）若，，，求的通项公式；
（2）若，，，求的前项和为；
（3）若，，满足恒成立，求的取值范围；

6 . 一台风中心于某天中午12：00在港口的正南方向，距该港口千米的海面处形成（如图），并以每小时千米的速度向北偏东方向上沿直线匀速运动，距台风中心千米以内的范围将受到台风的影响，请建立适当的坐标系.

（1）当台风中心离港口距离最近时，求该台风所影响区域的边界曲线方程；
（2）若港口于当天下午17：00开始受到此台风的影响，（i）求的值；（ii）求港口受该台风影响持续时间段的长.

7 . 已知函数.
（1）若函数为偶函数，求的值；
（2）若，求函数的单调递增区间；
（3）当时，若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.