1 . 已知函数，，其中．
讨论函数与的图象的交点个数；
若函数与的图象无交点，设直线与的数和的图象分别交于点P，证明：．

2 . 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，证明：.

3 . 已知抛物线：，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于，两点，且线段的中点的纵坐标为4.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若不过原点且斜率存在的直线与抛物线相交于、两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

4 . 如图,椭圆：的左、右焦点分别为，椭圆上一点与两焦点构成的三角形的周长为6,离心率为，
                                                                                        
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线交椭圆于两点,问在轴上是否存在定点,使得为定值？证明你的结论.

5 . 设为实数，函数．
(1)求的单调区间与极值；
(2)求证：当且时，．

6 . 已知函数 ．
（1）求函数 的最大值；
（2）设 ，且 ，证明： ．

7 . 已知椭圆的焦点与双曲线的焦点重合，过椭圆C的右顶点B任作一条直线，交抛物线于A,B两点，且，
（1）试求椭圆C的方程；
（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点，M,N是椭圆上位于直线两侧的两点.若，求证：直线MN的斜率为定值.

8 . 已知函数.
(1)讨论的单调性并求极值；
(2)证明：当时，.

9 . 已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，若，证明：当时，的图象恒在的图象上方；
(3)证明：.

10 . 已知函数.
(1)求证：；
(2)若对恒成立，求的最大值与的最小值.