1 . 已知函数，记.
（1）求证：在区间内有且仅有一个实数；
（2）用表示中的最小值，设函数，若方程在区间内有两个不相等的实根，记在内的实根为.求证：.

2 . 已知点在抛物线上，且到抛物线的焦点的距离等于2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线与抛物线相交于两点，且为坐标原点），求证：直线恒过轴上的某定点，并求出该定点坐标.

3 . 已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

4 . 已知
（1）求的轨迹
（2）过轨迹上任意一点作圆的切线，设直线的斜率分别是，试问在三个斜率都存在且不为0的条件下，是否是定值，请说明理由，并加以证明.

5 . 已知椭圆（a>b>0）的两个焦点分别为 ，离心率为，过 的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求出这个定值．

6 . 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，且，证明：.

7 . 已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若有两个极值点，，且，求证：．