1 . 在平面直角坐标系中，函数在第一象限内的图像如图所示，试做如下操作，把轴上的区间等分成个小区间，在每一个小区间上作一个小矩形，使矩形的右端点落在函数的图像上.若用，表示第个矩形的面积，表示这个矩形的面积总和.

（Ⅰ）求的表达式；
（Ⅱ）请用数学归纳法证明等式：；
（Ⅲ）求的值，并说明的几何意义.

2 . 设数列前项和为,对任意,点都在函数图像上．
（1）求、、,并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）的猜想；
（3）若数列满足：,,且对任意的,都有、、成公比为的等比数列,、、成等差数列,设,求数列的通项公式．

3 . 数列满足.若存在实数.使不等式对任意恒成立，当时，=（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 记为二项展开式中的项的系数，其中.
（1）求；
（2）证明：.

5 . 已知为正整数，各项均为正整数的数列满足：，记数列的前项和为．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值；
（3）若为奇数，求证：“”的充要条件是“为奇数”．

6 . 已知数列的通项公式为，它的前项和为.
（1）求，，的值；
（2）是否存在实数，，使得对一切都成立？若存在，求出，，的值，并用数学归纳法证明，若不存在，说明利用.

7 . 随着城市化建设步伐，建设特色社会主义新农村，有n个新农村集结区，，，…，按照逆时针方向分布在凸多边形顶点上()，如图所示，任意两个集结区之间建设一条新道路，两条道路的交汇处安装红绿灯(集结区，，，…，除外)，在凸多边形内部任意三条道路都不共点，记安装红绿灯的个数为.

（1）求，；
（2）求，并用数学归纳法证明.

8 . 给定一个n项的实数列，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a₁，a₂，…，a_n变换为数列|a₁﹣c|，|a₂﹣c|，…，|a_n﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N^*）次变换记为T_k（c_k），其中c_k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T₁（c₁），T₂（c₂），…，T_k（c_k）为“k次归零变换”．
（1）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；
（2）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；
（3）对于数列1，2²，3³，…，nⁿ，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．

9 . 已知函数的图象在点处的切线方程为．函数.
（1）求的值，并求函数在区间的最小值
（2）证明：

10 . 已知S_n＝1＋＋＋…＋．
（1）求S₂，S₄的值；
（2）若T_n＝，试比较与T_n的大小，并给出证明．