(1)求经过第一轮测试该消毒液即合格的概率;
(2)每进行一次载片测试视为一次检测,设检测次数的数学期望为,求证:.
现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为,且每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博.记赌徒的本金为,赌博过程如下图的数轴所示.当赌徒手中有n元(,)时,
(1)请直接写出与的数值.
(2)证明是一个等差数列,并写出公差d.
(3)当时,分别计算,时,的数值,并结合实际,解释当时,的统计含义.
3 . 2022年11月20日,卡塔尔足球世界杯正式开幕,世界杯上的中国元素随处可见.从体育场建设到电力保障,从赛场内的裁判到赛场外的吉祥物都是中国制造,为卡塔尔世界杯提供了强有力的支持.国内也再次掀起足球热潮.某地足球协会组建球队参加业余比赛,该足球队教练组为了考查球员甲对球队的贡献,作出如下数据统计(甲参加过的比赛均分出了输赢):
球队输球 | 球队赢球 | 总计 | |
甲参加 | 2 | 30 | 32 |
甲未参加 | 8 | 10 | 18 |
总计 | 10 | 40 | 50 |
(1)根据小概率值的独立性检验,能否认为该球队赢球与甲球员参赛有关联;
(2)从该球队中任选一人,A表示事件“选中的球员参赛”,B表示事件“球队输球”.与的比值是选中的球员参赛对球队贡献程度的一项度量指标,记该指标为R.
①证明:;
②利用球员甲数据统计,给出,的估计值,并求出R的估计值.
附:.
参考数据:
a | 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(1)若,,记表示100轮放球试验中“每一列至少一个红球”的轮数,统计数据如表:
n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 76 | 56 | 42 | 30 | 26 |
(2)若,,,,记在每列都有白球的条件下,含红球的行数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(3)求事件“不是每一列都至少一个红球”发生的概率,并证明:.
附:经验回归方程系数:,,,.
(1)求第一次摸到蓝球的条件下第二次摸到红球的概率;
(2)记表示,,同时发生的概率,表示已知与都发生时发生的概率.
(ⅰ)证明:;
(ⅱ)求.
(1)依据二顶式定理,将展开,并求证:;
(2)研究所列二项式系数的单调性,并求证:其最大值为.
7 . 为了研究某种细菌随天数x变化的繁殖个数y,收集数据如下:
天数x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
繁殖个数y | 6 | 12 | 25 | 49 | 95 | 190 |
(1)在图中作出繁殖个数y关于天数x变化的散点图,并由散点图判断(a,b为常数)与(,为常数,且,)哪一个适宜作为繁殖个数y关于天数x变化的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)对于非线性回归方程(,为常数,且,),令,可以得到繁殖个数的对数z关于天数x具有线性关系及一些统计量的值.
3.50 | 62.83 | 3.53 | 17.50 | 596.57 | 12.09 |
①证明:“对于
②根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程(系数保留2位小数).
附:对于一组数据,,…,,其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为,.
(1)证明:在的概率分布中,最大;
(2)如果比赛当天天气出现异常,则将临时更改比赛规则:每个代表队每次指派一个小组,比赛时间一分钟,如果一分钟内不能完成,则重新指派另一组参赛.高一(15)班代表队的领队了解后发现,小组能顺利完成比赛的概率为(),且各个小组能否完成比赛相互独立.在更改比赛规则后,领队如何安排小组的出场顺序能使指派的小组个数的均值最小?请给出证明.
(1)已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个,求该选手在第一轮得分的数学期望;
(2)已知恰有甲、乙、丙、丁四个团队参加飞花令环节的比赛,每一次由四个团队中的一个回答问题,无论答题对错,该团队回答后由其他团队抢答下一问题,且其他团队有相同的机会抢答下一问题.记第n次回答的是甲的概率为,若.
①求P2,P3;
②证明:数列为等比数列,并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.
(1)证明:;
(2)某公司意向投资该产品,若,每次试验的成本为元,若试验成功则获利元,则该公司应如何决策投资?请说明理由.