1 . 已知抛物线C的顶点在原点，焦点在轴，点在抛物线C上.
（1）求抛物线C的方程；
（2）斜率为的直线过定点，与抛物线C相交所得弦长为，求直线的方程.

2 . 、是抛物线上两个不同的点，、纵坐标之和为4．
（1）求直线的斜率；
（2）为原点，若，求直线的方程．

3 . 设为曲线上两点，与的横坐标之和为
（1）若与的纵坐标之和为求直线的方程.
（2）证明：线段的垂直平分线过定点.

4 . 垂直于x轴的直线交抛物线于A，B两点，且，求直线AB的方程．

5 . 在平面直角坐标系中，动点（）到定点的距离比到轴的距离大1.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线交曲线于，两点，若，求直线的方程.

6 . 已知两条动直线与（，为参数）的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）、是轴上的两点，过点作直线与曲线交于、，当时，求直线的方程.

7 . 在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.
问题：已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且___________.
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

8 . 已知抛物线和点，为坐标原点，直线过点，且与抛物线交于，两点.
（1）求；
（2）若的面积等于，求直线的方程.

9 . 已知抛物线的焦点，抛物线上一点到焦点的距离为4.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线，交抛物线于两点，若线段中点的纵坐标为，求直线的方程.

10 . 已知抛物线的焦点为，直线与相交所得线段的长为.
（1）求的方程；
（2）若不过点的直线与相交于，两点，请从下列三个条件中任选两个作为补充条件，并尝试依据补充条件，求的方程（若因条件选择不当而无法求出，需分析具体原因）.
①中点的纵坐标为3；
②的重心在直线上；
③.