1 . 如图①梯形中，，，，且，将梯形沿折叠得到图②，使平面平面，与相交于，点在上，且，是的中点，过三点的平面交于．

   

(1)证明：是的中点；
(2)是上一点，已知二面角为，求的值．

2 . 如图60°的二面角的棱上有，两点，直线，分别在二面角两个半平面内，且垂直于，，，则__________．

3 . 如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点．

(1)求证：；
(2)若，求三棱锥的体积．
(3)若，当二面角的正切值为时，求直线与平面所成的角．

4 . 已知正方体的棱长为3，，分别为棱，上的动点，．若直线与平面所成角为．

(1)求二面角的平面角的大小．
(2)求线段的长度．
(3)求二面角平面角的余弦值．

5 . 如图，在三棱锥中，底面是边长为6的等边三角形，且满足，，分别为，的中点，，平面．

(1)证明：平面平面；
(2)若二面角的余弦值为，求与平面所成角的正切值．

6 . 如图，在正四棱锥中，，点O为底面的中心，点P在棱上，且的面积为1．

(1)若点P是的中点，求证：平面平面；
(2)在棱上是否存在一点P使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明强由．

7 . 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，将△ABD沿BD折起，使得平面平面，如图2．

(1)证明：平面BCD；
(2)在线段上是否存在点M，使得二面角的大小为45°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

8 . 如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，．

(1)证明：平面；
(2)当的长为何值时，二面角的大小为？

9 . 三棱锥中，，，各侧面与底面成的二面角都是45°，求三棱锥的高及侧面积．