1 . 已知椭圆的左､右焦点分别为，上､顶点分别为的面积为，四边形的四条边的平方和为16.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，斜率为的直线交椭圆于两点，且线段的中点在直线上，求证：线段的垂直平分线与圆恒有两个交点.

2 . 已知椭圆的左、右两个焦点分别是F₁，F₂，焦距为2，点M在椭圆上且满足MF₂⊥F₁F₂，|MF₁|＝3|MF₂|.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点O为坐标原点，直线l与椭圆C交于A，B两点，且OA⊥OB，证明为定值，并求出该定值.

3 . 已知椭圆的右顶点坐标为A（2，0），左、右焦点分别为F₁、F₂，且|F₁F₂|＝2，直线l交椭圆Γ于不同的两点M和N．
(1)求椭圆Γ的方程；
(2)若直线l的斜率为1，且以MN为直径的圆经过点A，求直线l的方程；
(3)若直线l与椭圆Γ相切，求证：点F₁、F₂到直线l的距离之积为定值．

4 . 已知，是椭圆E：（）的两个焦点，点在E上，且的面积为.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点的直线l与椭圆E交于C，D两点，直线，分别与直线交于M，N两点，证明：.

5 . 已知椭圆的左右顶点为A、B，直线l：.已知O为坐标原点，圆G过点O、B交直线l于M、N两点，直线AM、AN分别交椭圆于P、Q.

(1)记直线AM，AN的斜率分别为、，求的值；
(2)证明直线PQ过定点，并求该定点坐标.

6 . 已知椭圆：（）的离心率为，是椭圆的左，右焦点，点是椭圆上任意一点且满足.
(1)求椭圆方程；
(2)设为椭圆右顶点，过点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点.求证：，两点的纵坐标之积为定值.

7 . 设分别是椭圆的左､右焦点，是上一点，与轴垂直.直线与的另一个交点为，且直线的斜率为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于两点，证明直线过定点，并求出定点坐标.

8 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，过作不平行于坐标轴的直线交于A，B两点，且的周长为.
(1)求的方程；
(2)若轴于点M，轴于点N，直线AN与BM交于点C.
①求证：点C在一条定直线上，并求此定直线；
②求面积的最大值.

9 . 已知椭圆经过点，且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与椭圆交于两点，为椭圆上顶点，直线交直线于两点，已知两点纵坐标之和为.求证：直线过定点，并求此定点坐标.

10 . 如图，已知椭圆长轴长为4，离心率．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点为椭圆C上一点，设是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），直线与直线相交于点M，记的斜率分别为，求证：．