1 . 已知直线与椭圆在第一象限交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，直线，的斜率之积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与轴，轴分别相交于，两点，且，，求椭圆的方程.

2 . 设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)平面上点B满足，过与平行的直线交于两点，若，求椭圆的方程.

3 . 已知直线与椭圆在第二象限交于两点，且与轴、轴分别交于两点，若，，则的方程为 ______ ．

4 . （1）若椭圆的离心率，且被直线截得的线段长为，求椭圆的标准方程；
（2）椭圆，其中，若点是上的任意一点，过点作的切线交于两点，为上异于的任意一点，且满足，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；否则，说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆：与椭圆：，且椭圆过椭圆的焦点.过点且不与坐标轴平行或重合的直线与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若存在直线，使得，求实数的取值范围.

6 . 在生活中，我们经常看到椭圆，比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的最小值是________________．

7 . 已知椭圆的焦点分别分别为的上､下顶点，过且垂直于的直线与交于两点，
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上任一点，作椭圆的两条切线，切点为两点，证明：直线过定点.

8 . 已知椭圆的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点．

9 . 已知椭圆：的长轴长是短轴长的2倍，直线被椭圆截得的弦长为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设M，N，P，Q为椭圆上的动点，且四边形MNPQ为菱形，原点О在直线MN上的垂足为点H，求H的轨迹方程．

10 . 已知椭圆过点和，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点斜率为的直线交椭圆于，直线分别交直线于点．若，求的值．