1 . 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
(1)求双曲线的方程；
(2)求过点作直线，使其被双曲线截得的弦恰被点平分，求直线的方程．
(3)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中O为坐标原点)，求实数取值范围．

2 . 已知标准双曲线的焦点在轴上，且虚轴长，过双曲线的右焦点且垂直轴的直线交双曲线于两点， 的面积为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过点的直线交双曲线于两点，且点是线段的中点，求直线的方程.

3 . 设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切．
(1)求圆心的轨迹方程；
(2)问：曲线上是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．

4 . 已知双曲线.
(1)试问过点能否作一条直线与双曲线交于，两点，使为线段的中点，如果存在，求出其方程；如果不存在，说明理由；
(2)直线：与双曲线有唯一的公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点.当点运动时，求点的轨迹方程.

5 . 双曲线C：过点，且右焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)若双曲线C与直线l：相交于两个不同的点A，B，M（1，3）为AB中点，求直线l方程．

6 . 已知双曲线C的焦点在坐标轴上，且过点，其渐近线方程为.
（1）求双曲线C的标准方程.
（2）是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.

7 . 双曲线C：，过点，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为的中点．
（1）求直线的方程；
（2）求弦的长