名校
解题方法
1 . 
元向量（
）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集
中的个元素构成的有序组
称为上的元向量，其中
为该向量的第
个分量．元向量通常用希腊字母
等表示，如
上全体元向量构成的集合记为
．对于
，记
，定义如下运算：加法法则
，模公式
，内积
，设
的夹角为
，则
．
(1)设
，解决下面问题：
①求
；
②设
与
的夹角为，求
；
(2)对于一个元向量
，若
，称为维信号向量．规定
，已知
个两两垂直的120维信号向量
满足它们的前
个分量都相同，证明：
．
元向量（）也叫维向量，是平面向量的推广，设为正整数，数集中的个元素构成的有序组称为上的元向量，其中为该向量的第个分量．元向量通常用希腊字母等表示，如上全体元向量构成的集合记为．对于，记，定义如下运算：加法法则，模公式，内积，设的夹角为，则．(1)设
，解决下面问题：①求
；②设
与的夹角为，求；(2)对于一个
元向量，若，称为维信号向量．规定，已知个两两垂直的120维信号向量满足它们的前个分量都相同，证明：．
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2024-03-26更新
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530次组卷
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5卷引用：山西省大同市第二中学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题
名校
2 . 已知O为坐标原点，对于函数
，称向量
为函数
的相伴特征向量，同时称函数为向量
的相伴函数.
(1)记向量
的相伴函数为，若当
且
时，求
的值；
(2)设
，试求函数
的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；
(3)已知
，
，
为函数
的相伴特征向量，
，请问在
的图象上是否存在一点，使得
?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.(1)记向量
的相伴函数为，若当且时，求的值；(2)设
，试求函数的相伴特征向量，并求出与共线的单位向量；(3)已知
，，为函数的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
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2024-03-19更新
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676次组卷
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3卷引用：重庆市第七中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题
名校
3 . 个有次序的实数
所组成的有序数组
称为一个
维向量，其中
称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量
，若
，称
为维信号向量．设
，则和
的内积定义为
，且
．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量
满足它们的前个分量都是相同的，求证：
．
个有次序的实数所组成的有序数组称为一个维向量，其中称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，称为维信号向量．设，则和的内积定义为，且．(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在14个两两垂直的14维信号向量．
(3)已知
个两两垂直的2024维信号向量满足它们的前个分量都是相同的，求证：．
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2023-11-15更新
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236次组卷
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4卷引用：模块三 专题2 专题1 平面向量运算
（已下线）模块三 专题2 专题1 平面向量运算（已下线）模块三 专题2 解答题分类练 专题3 平面向量各类运算（解答题）北京市第十一中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试卷北京市北京师范大学附属中学2023-2024学年高二上学期数学期中考试数学试题
名校
解题方法
4 . 集合
，对于任意
，以及任意
，满足
，则称集合I为“类圆集”现有四个命题：
①集合
是“类圆集”；
②集合
是“类圆集”；
③若A、B都是“类圆集”，则
也一定是“类圆集”；
④若A、B都是“类圆集”，且交集非空，则
也是“类圆集”；
其中，所有正确的命题的序号是___________ .
，对于任意，以及任意，满足，则称集合I为“类圆集”现有四个命题：①集合
是“类圆集”；②集合
是“类圆集”；③若A、B都是“类圆集”，则
也一定是“类圆集”；④若A、B都是“类圆集”，且交集非空，则
也是“类圆集”；其中，所有正确的命题的序号是
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解题方法
5 . 如图，设
是平面内相交成角的两条数轴，
分别是与
轴、
轴同方向的单位向量．若向量
，则把有序数对
叫做
在斜坐标系
中的坐标．
，
，求
在
上的投影向量斜坐标．
(2)若
，
，
，求
的最小值.
是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴同方向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做在斜坐标系中的坐标．
，，求在上的投影向量斜坐标．(2)若
，，，求的最小值.
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2023-08-22更新
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538次组卷
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8卷引用：福建省六校（福清第三中学等）2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
福建省六校（福清第三中学等）2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）模块一 专题2 平面向量基本定理与坐标运算（A）湖南省株洲市第十三中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（已下线）第一次月考解答题压轴题十六大题型专练（1）-举一反三系列（人教A版2019必修第二册）（已下线）模块一专题2《平面向量基本定理与坐标运算》A基础卷（苏教版）（已下线）模块一 专题4 平面向量基本定理与坐标运算（A）北师大版高一期中（已下线）北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高一下学期期中练习数学试题变式题26-29（已下线）模块二 专题5《平面向量与复数》单元检测篇 B提升卷（人教A）
名校
6 . 当时，称有序实数对
为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为
、
，对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为
；②向量
平行于向量
的充要条件为
；③向量垂直于向量的充要条件为
；其中真命题是______ ．
时，称有序实数对为点P的广义坐标，若点A、B的广义坐标分别为、，对于下列命题：①线段AB的中点的广义坐标为；②向量平行于向量的充要条件为；③向量垂直于向量的充要条件为；其中真命题是
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2023-08-06更新
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338次组卷
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4卷引用：第二章 平面向量及其应用（综合检测卷）
（已下线）第二章 平面向量及其应用（综合检测卷）江苏省盐城市滨海县东元高级中学等三校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题（已下线）重难点01平面向量的实际应用与新定义（3）上海市青浦高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
名校
7 . 对于三维向量
，定义“
变换”：
，其中，
．记
，
．
(1)若
，求
及
；
(2)证明：对于任意
，经过若干次变换后，必存在
，使
；
(3)已知
，将
再经过次变换后，
最小，求的最小值．
，定义“变换”：，其中，．记，．(1)若
，求及；(2)证明：对于任意
，经过若干次变换后，必存在，使；(3)已知
，将再经过次变换后，最小，求的最小值．
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2023-07-11更新
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1332次组卷
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6卷引用：北京市东城区2022-2023学年高一下学期期末统一检测数学试题
北京市东城区2022-2023学年高一下学期期末统一检测数学试题广东省东莞市石竹实验学校2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷（已下线）专题02 高一下期末真题精选（1）-期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）【北京专用】专题07平面向量(第三部分)-高一下学期名校期末好题汇编（已下线）专题08 期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类-期末真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）北京市第十一中学2023-2024学年高二上学期期中练习数学试题
名校
8 . 设平面向量、的夹角为，
．已知
，
，
．
(1)求
的解析式；
(2)若
﹐证明：不等式
在
上恒成立．
、的夹角为，．已知，，．(1)求
的解析式；(2)若
﹐证明：不等式在上恒成立．
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2023-06-28更新
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405次组卷
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3卷引用：四川省达州市2022-2023学年高一下学期期末数学试题
名校
解题方法
9 . 对于数集
，其中
，
．定义向量集
．若对于任意
，存在
，使得
，则称X具有性质P．
(1)已知数集
，请你写出数集
对应的向量集
，是否具有性质P？
(2)若
，且
具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，求证：
，且当
时，
．
，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．(1)已知数集
，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？ (2)若
，且具有性质P，求x的值；(3)若X具有性质P，求证：
，且当时，．
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2023-06-09更新
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397次组卷
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3卷引用：北京工业大学附属中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
名校
解题方法
10 . 向量
的夹角为，定义运算“
”：
，若
，则
的值为___________ .
的夹角为，定义运算“”：，若，则的值为
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2023-06-01更新
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710次组卷
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6卷引用：上海市奉贤区致远高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题
