1 . 给定数列｛a_n｝，若数列｛c_n｝满足：对｛a_n｝中任意相邻的两项a_n和a_n+1，均存在某项c_m，使得≤0，则称｛c_n｝是｛a_n｝的“分隔数列”.
(1)已知｛a_n｝是项数为4的数列：1，4，6，9.则
（i）｛a_n｝的“分隔数列”可以为________.
①2，5，8，10             ②0，5，8             ③1，7，5
（ii）设｛c_n｝是｛a_n｝的项数为3的“分隔数列”，且｛c_n｝各项均为整数，则所有满足条件的｛c_n｝的个数为_________.
(2)已知｛a_n｝为递增的无穷等比数列，a₁＝1，T_n是｛a_n｝的前n项和，若数列｛T_n｝是｛a_n｝的分隔数列，求｛a_n｝的公比q的取值范围：
(3)是否存在无穷等差数列｛a_n｝，S_n是｛a_n｝的前n项和，使得数列｛S_n｝是｛a_n｝的分隔数列？说明理由.

2 . 定义：Leistra序列是一个由，，…，，组成的有限项序列，有如下性质：①每项，，…，，都是正偶数；②每项，，…，，通过将序列中的前一项除以一个10-50（包含10和50）之间的整数得到（对于一个特定序列，使用的除数不一定都相同）；③10-50（包含10和50）之间没有整数m使得是一个偶数（其中为数列的最后一项）.
(1)试判断序列1000､100､4和序列1000､200､4是否为Leistra序列？并说明理由；
(2)是否存在以首项，末项的Leistra序列？如果有，请写出所有的Leistra序列；如果没有，请说明理由；
(3)首项为的Leistra序列有多少个？并说明理由.

3 . 如果无穷数列是等差数列，且满足：①、，，使得；②，、，使得，则称数列是“数列”.
(1)下列无穷等差数列中，是“数列”的为___________；（直接写出结论）
、、、
、、、
、、、
、、、
(2)证明：若数列是“数列”，则且公差；
(3)若数列是“数列”且其公差为常数，求的所有通项公式.

4 . 设数列.如果，且当时，，则称数列A具有性质.对于具有性质的数列A，定义数列，其中.
(1)对，写出所有具有性质的数列A；
(2)对数列，其中，证明：存在具有性质的数列A，使得与为同一个数列；
(3)对具有性质的数列A，若且数列满足，证明：这样的数列A有偶数个.

5 . 设为正整数，若无穷数列满足，则称为数列.
(1)数列是否为数列？说明理由；
(2)已知其中为常数.若数列为数列，求；
(3)已知数列满足，，，求.

10 . 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求数列的前项和；
(2)对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
(3)若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.