1 . 定义，，…，的“倒平均数”为.
（1）若数列前项的“倒平均数”为，求的通项公式；
（2）设数列满足：当为奇数时，，当为偶数时，.若为前项的倒平均数，求；
（3）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由.

2 . 定义个数的“倒均值”.
（1）若数列的前项，的“倒均值”. 求的通项公式
（2）在（1）的条件下，令，试研究数列的单调性，并给出证明.
（3）在（2）的条件下，设函数，对于数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出在最小的实数，若不存在，说明理由.

3 . 定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.
（1）若，证明：数列是数列；
（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；
（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.

4 . 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后的各项的最小值记为，设.
（1）若为，是一个周期为4的数列，写出的值；
（2）设d为非负整数，证明：）的充要条件是是公差为d的等差数列．

5 . 对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”.①；②存在实数使得.
（1）数列中，，判断是否具有“性质”.
（2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且，证明：数列具有“性质”，并指出的取值范围.
（3）若数列的通项公式，对于任意的，数列具有“性质”，且对满足条件的的最小值，求整数的值.

6 . 对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.

7 . 对于数列：、、、、，若不改变，仅改变、、、中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、、、、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、、、、.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.
（1）写出的所有可能的值；
（2）若生成数列的通项公式为，求；
（3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为.

8 . 给定数列. 对，该数列前项的最大值记为，后项的最小值记为，.
（1）设数列为3,4,7,1. 写出的值；
（2）设是公比大于的等比数列，且，证明是等比数列；
（3）若，证明是常数列.

9 . 若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为“可控数列”.
(1) 若数列的通项公式为，试判断数列是否为“可控数列”？并说明理由；
(2) 若是首项为5的“可控数列”，且单调递减，问是否存在常数，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；
(3) 若“可控数列”的首项为2，，求不同取值的个数及最大值.(直接写出结果)

10 . 数列
满足：或1（k=1,2,…,n－1）．
对任意i，j，都存在s，t，使得，其中i，j，s，t∈{1,2，…，n}且两两不相等．
（1）若m=2，写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号；
①1,1,1,2,2,2；                  ②1,1,1,1,2,2,2,2；                 ③1,1,1,1,1,2,2,2,2
（2）记．若m=3，求S的最小值；
（3）若m=2018，求n的最小值．