1 . 若正整数列满足，对任意，都有恒成立，则称为“友好数列”，
(1)已知的通项公式分别为，求证：为"友好数列"
(2)已知为“友好数列”，且，求证，是等差数列的充分不必要条件是是等比数列．

2 . 已知等差数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列的前项和为，用符号表示不超过x的最大数，当时，求的值.

3 . 我国古代数学家杨辉､朱世杰等研究过高阶等差数列的问题，对于数列，若数列是公差为的等差数列，则就是二阶等差数列，若，，.
（1）求的通项公式；
（2）数列中有多少项属于区间？

4 . 设数列的前项和为．若对，总，使得，则称数列是“数列”．
（1）若数列是等差数列，其首项，公差．证明：数列是“数列”；
（2）若数列的前项和，判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）证明：对任意的等差数列，总存在两个“数列”和，使得成立．

6 . 已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．
（1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；②
（2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；
（3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式．

7 . 数列中，给定正整数，．定义：数列满足，称数列的前项单调不增．
（1）若数列通项公式为：，，求；
（2）若数列满足：，，，求证： 的充分必要条件是数列的前项单调不增；
（3）给定正整数，若数列满足：，，且数列的前项和为，求的最大值与最小值．

8 . 已知数列的通项公式为，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵，记为该数阵从左至右的n列以及从上到下的n行共个数的和．



…     …     …     …   …

（1）求，猜想并写出（直接写出）；
（2）记，数列的前n项和为，证明：．

9 . 对于无穷数列、，，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中、分别表示中的最大项和最小项．已知数列的前项和为，数列是数列的“收缩数列”．
（Ⅰ）写出数列的“收缩数列”；
（Ⅱ）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（Ⅲ）若，求所有满足该条件的数列．