1 . 凸多面体的顶点数V，面数F，棱数E之间有很多有趣的性质．例如三棱锥的每个顶点处有3条棱，每条棱与2个顶点连接，故；三棱锥每个面有3条棱，相邻两个面之间有一条公共棱，故；凸多面体的欧拉公式：等等．各个面都是全等的正多边形的凸几何体叫做正多面体．例如，四个面都是正三角形的三棱锥是正四面体，六个面都是正方形的四棱柱是正方体．由正多面体每个面的中心构成的几何体显然也是正多面体，把二者称为对偶正多面体．例如由正四面体四个面的中心构成正四面体，所以正四面体的对偶是本身．试根据以上信息解决以下问题．
(1)若正四面体和正方体的表面积相等，试比较二者体积的大小；
(2)足球表面是由12个正五边形和20个正六边形构成，求足球的棱数和顶点数．
(3)试求正多面体的个数，并证明；
(4)若所有正多面体的表面积都相等，求体积最大的正多面体是正多少面体？（给出结论即可）．

2 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作，他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫．欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠，相关的内容是，欧拉公式:，其中表示虚数单位，是自然对数的底数．数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘，试回答下列问题：
(1)试证明欧拉公式．
(2)利用欧拉公式，求出以下方程的所有复数解．
①；②；
(3)求出角度的倍角公式(用表示，)．

3 . 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为海伦公式.其中，.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：，这个公式常称为“三斜求积”公式.
(1)利用以上信息，证明三角形的面积公式；
(2)在中，，，求面积的最大值.

4 . 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部传世巨著，该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点，第一次实现了几何学的系绕化、条理化，成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范．书中第Ⅰ卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯（勾股定理），证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形（如图1）．某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究，提出了如下问题，请帮忙解答．
问题：如图2，已知满足，，设（），四边形、四边形、四边形都是正方形．

   

(1)当时，求的长度；
(2)求长度的最大值．

5 . 17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（       ）

A．17.1

B．8.4

C．6.6

D．3.6

6 . 南宋时期，数学家秦九韶提出利用三角形的三边求面积的公式：如果一个三角形的三边长分别为，那么三角形的面积，后人称之为秦九韶公式.这与古希腊数学家海伦证明的面积公式，实质是相同的.若在中，，，，则的面积为____， 的内切圆半径为____.

7 . 刘徽是我国古代著名数学家，他对《九章算术》中的各个图形面积计算公式的正确性进行验证，树立了中国数学史上对数学命题进行逻辑证明的典范．刘徽认为圆可以看成一簇半径连续增大的同心圆叠合而成，那么这些同心圆的周长也可以叠成一个等腰三角形（如图1），该圆的面积与等腰三角形的面积相等．即．运用这种积线成面的面积观，圆环面积也和一个等腰梯形的面积相等．若某圆环的内圆周长为，外圆周长为，半径差为d（如图2），则该圆环的面积________（用，，d表示）．

8 . 费马大定理又称为“费马最后定理”，由17世纪法国数学家皮埃尔·德·费马提出，他断言当时，关于，，的方程没有正整数解．他提出后，历经多人猜想辩证，最终在1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明．某同学对这个问题很感兴趣，决定从1，2，3，4，5，6这6个自然数中随机选一个数字作为方程中的指数，方程存在正整数解的概率为______．