1 . 如图，梯形中，，经过梯形对角线的交点，且.

(1)求证：；
(2)求的值；
(3)求证：.

2 . 已知集合，集合．记集合中最小元素为，集合中最大元素为．
(1)求及，的值；
(2)证明：函数在上单调递增；并用上述结论比较与的大小．

3 . 证明：能被整除.

4 . 在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到以上（含）的同学将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）

5 . 已知，点，，直线．求证：点P到直线l的距离等于．

6 . 求证：一个三角形是钝角三角形的充要条件是三角形内有一条边的平方大于另两条边的平方和．

7 . 求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形．

8 . 如图，在矩形中，对角线的中点为，点，在对角线上，，直线绕点逆时针旋转角，与边、分别相交于点、点不与点、重合．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，，求的长．

9 . 2022年北京冬奥会的成功举办，带动中国3亿多人参与冰雪运动，这是对国际奥林匹克运动发展的巨大贡献．2020《中国滑雪产业白皮书》显示，2020-2021排名前十的省份的滑雪人次（单位：万人次）数据如下表：

排名	省份	2020-2021	2019-2020	2018-2019
1	河北	221	136	235
2	吉林	202	123	207
3	北京	188	112	186
4	黑龙江	149	101	195
5	新疆	133	76	116
6	四川	99	52	69
7	河南	98	58	95
8	浙江	94	62	108
9	陕西	79	47	76
10	山西	78	39	100

(1)从滑雪人次排名前10名的省份中随机抽取1个省份，求该省2020-2021滑雪人次大于2018-2019滑雪人次的概率；
(2)从滑雪人次排名前5名的省份中随机选取3个省份，记这3个省份中2020-2021的滑雪人次超过150万人次的省份数为X，求X的分布列和数学期望；
(3)记表格中2020-2021， 2019-2020两组数据的方差分别为与，试判断和的大小．结论不要求证明

10 . 下图，直线与的边，分别相交于点，.设，，，，请用向量方法证明：.