1 . 设
，
是两个实系数非零多项式，且存在实数
，使
.记
，
.求证：
，是两个实系数非零多项式，且存在实数，使.记，.求证：
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2 . （1）设
是一个大于3的素数.求
的值；
（2）设是大于3的自然数.求
的值.
是一个大于3的素数.求的值；（2）设
是大于3的自然数.求的值.
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3 . 已知
.则
的值是______ .
.则的值是
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4 . 设自然数
，个不同的自然数
有下列性质：对集合
的任何两个不同的非空子集
，
，中所有数的和与中所有数的和都不会相等.在上述条件下，求
的最大值.
，个不同的自然数有下列性质：对集合的任何两个不同的非空子集，，中所有数的和与中所有数的和都不会相等.在上述条件下，求的最大值.
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5 . 在四面体
中，棱
，
的长分别为
和
，这两棱中点的距离为
.则四面体的体积的最大值是______ .
中，棱，的长分别为和，这两棱中点的距离为.则四面体的体积的最大值是
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6 . 已知个正整数
满足
，其中任意两个
，
的最小公倍数都大于
.求证：
.（
表示
的整数部分）
个正整数满足，其中任意两个，的最小公倍数都大于.求证：.（表示的整数部分）
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7 . 设
是锐角三角形，在外分别作等腰
，
，
.在这三个三角形中，
，
，
是直角.又在四边形
外作等腰
，
是直角.求证：
（1）
；
（2）
.
是锐角三角形，在外分别作等腰，，.在这三个三角形中，，，是直角.又在四边形外作等腰，是直角.求证：（1）
；（2）
.
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8 . 至少有一个数字是6的四位数中，有______ 个是3的倍数.
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9 . 过正的中心
作直线分别与，
交于点
，
.若
，
，则该正三角形的边长为______ .
的中心作直线分别与，交于点，.若，，则该正三角形的边长为
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10 . 设
是集合
的一族不同的子集，它们两两的交都不是空集，而
的其他子集不能与
的交都是非空集合，则
______ .
是集合的一族不同的子集，它们两两的交都不是空集，而的其他子集不能与的交都是非空集合，则
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