1 . 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程
，其中
为参数.当
时，就是双曲余弦函数
，类似地我们可以定义双曲正弦函数
.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；
(2)
，不等式
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
，试比较
与
的大小关系，并证明你的结论.
，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质.(1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:
_____________.（只写出即可，不要求证明）；(2)
，不等式恒成立，求实数的取值范围；(3)若
，试比较与的大小关系，并证明你的结论.
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2024-01-27更新
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965次组卷
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11卷引用：江西省上饶市横峰县横峰中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷
江西省上饶市横峰县横峰中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试卷福建省宁德市2023-2024学年高一上学期1月期末质量检测数学试题重庆市缙云教育联盟2024届高三下学期2月月度质量检测数学试题（已下线）压轴题函数与导数新定义题(九省联考第19题模式）讲河南省名校联盟2023-2024学年高一下学期3月测试数学试题（已下线）第八章：向量的数量积与三角恒等变换章末重点题型复习（2）-同步精品课堂（人教B版2019必修第三册）河南省信阳市信阳高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考（一）数学试题（已下线）第8章：向量的数量积与三角恒等变换章末综合检测卷（新题型）-【帮课堂】（人教B版2019必修第三册）（已下线）专题04 三角函数恒等变形综合大题归类 -期末考点大串讲(苏教版（2019）)（已下线）专题08 期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类-期末真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）（已下线）拔高点突破05 函数与导数背景下的新定义压轴解答题（九大题型）
解题方法
2 . 我国后汉时期的数学家赵爽利用弦图证明了勾股定理，这种利用面积出入相补证明勾股定理的方法巧妙又简便，对于勾股定理我国历史上有多位数学家创造了不同的面积政法，如三国时期的刘徽、清代的梅文鼎、华蘅芳等．下图为华蘅芳证明勾股定理时构造的图形，若图中
，
，
，以点C为原点，
为x轴正方向．
为y轴正方向，建立平面直角坐标系，以AB的中点D为圆心作圆D，使得图中三个正方形的所有顶点恰有2个顶点在圆D外部，则圆D的一个标准方程为
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3 . 在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例.在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和.若一个直角三角形的斜边长等于6，则这个直角三角形周长的最大值为（ ）
A． | B．12 | C． | D． |
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名校
4 . 立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍(méng)”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，
分别是边长为4的正方形三边
的中点，先沿着虚线段
将等腰直角三角形
裁掉，再将剩下的五边形
沿着线段
折起，连接
就得到了一个“刍甍”(如图2)．
(1)若
是四边形
对角线的交点，求证：
平面
(2)若二面角
的大小为
，求直线
与平面所成角的正弦值.
分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”(如图2)．(1)若
是四边形对角线的交点，求证：平面(2)若二面角
的大小为，求直线与平面所成角的正弦值.
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2022-12-13更新
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1183次组卷
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21卷引用：江西省新余市2023届高三上学期期末质量检测数学（理）试题
江西省新余市2023届高三上学期期末质量检测数学（理）试题江苏省无锡市江阴市2022届高三下学期最后一卷数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何综合测试-2022年暑假高一升高二数学衔接知识自学讲义（人教A版2019）（已下线）专题08 立体几何综合-备战2023年高考数学母题题源解密（新高考卷）空间向量的应用空间向量与立体几何中的高考新题型湖北省潜江市园林高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省潍坊市昌邑市潍坊实验中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题山东省济宁市梁山县第一中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖北省武汉市第二十中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高三上学期第四次月考数学试题湖北省随州市曾都区第一中学2022-2023学年高二上学期期末模拟数学试题河北省唐山市开滦第二中学2023届高三上学期第四次线上考试数学试题湖南省长沙市浏阳市2022-2023学年高二上学期期末数学试题湖北省黄冈市浠水县第一中学2022-2023学年高二下学期3月质量检测数学试题甘肃省兰州市西固区兰州市第六十一中学2023届高三上学期期末理科数学试题山东省日照市实验高级中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段(10月月考)数学试题山西大学附属中学校2023-2024学年高二上学期10月模块诊断数学试题四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高二上学期第一次质量检测数学试题湖南省张家界市慈利县第一中学2022-2023学年高二上学期第四次月考数学试题（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题二 融合科技、社会热点 微点3 融合科技、社会热点等现代文化的立体几何和问题综合训练【培优版】
名校
解题方法
5 . 赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知
．
(1)证明：F为AD的中点；
(2)求向量
与
夹角的余弦值．
．(1)证明：F为AD的中点；
(2)求向量
与夹角的余弦值．
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2023-04-20更新
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563次组卷
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7卷引用：江西省部分学校2022-2023学年高一下学期4月期中联考数学试题
名校
解题方法
6 . 数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形
中，点为斜边的中点，点
为斜边上异于顶点的一个动点，设
，
，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2022-10-12更新
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947次组卷
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17卷引用：江西省宜春市丰城市第九中学2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题
江西省宜春市丰城市第九中学2020-2021学年高一下学期第三次月考数学试题湖南省六校2021届高三下学期4月联考数学试题陕西省榆林市子洲中学2021-2022学年高二上学期开学测试理科数学试题（已下线）专题1.8 基本不等式-重难点题型精练-2022年高考数学一轮复习举一反三系列（新高考地区专用）（已下线）专题8.1 与数学文化相关的数学考题-玩转压轴题，进军满分之2021高考数学选择题填空题江苏省常州市六校2021-2022学年高一上学期期中联考数学试题（已下线）专题3.2 不等式 章末检测2（中）-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷（苏教版2019必修第一册）（已下线）专题05 不等式（突破训练）-备战2022年高考数学二轮复习重难考点专项突破训练（全国通用）江苏省连云港市海州高级中学2022-2023学年高一上学期第一次阶段检测数学试题江苏省苏州地区部分校2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题湖北省十堰市郧阳中学2022-2023学年高一上学期第二次月考数学试题（已下线）重难点02 不等式（6种解题模型与方法）-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（人教A版2019必修第一册）辽宁省大连市金州区金州高级中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题辽宁省东北育才学校科学高中部2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题重庆市第八中学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题上海海洋大学附属大团高级中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题上海市实验学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
2021高二·江苏·专题练习
名校
7 . 阿波罗尼斯
约公元前
年
证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
且
的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：
，当P、A、B三点不共线时，
面积的最大值是（ ）
约公元前年证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比满足：，当P、A、B三点不共线时，面积的最大值是（ ）A． | B．2 | C． | D． |
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2022-01-04更新
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1195次组卷
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9卷引用：江西省六校2021-2022学年高二上学期期末联考数学（文）试题
江西省六校2021-2022学年高二上学期期末联考数学（文）试题（已下线）2.1 圆的方程-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题11直线与圆及相关的最值问题（练）--第一篇 热点、难点突破篇-《2022年高考数学二轮复习讲练测（新高考·全国卷）》浙江省北斗联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题（已下线）专题26 活用隐圆的五种定义妙解压轴题-2湖南省衡阳师范学院祁东附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题北京市第八十中学2022-2023学年高二上学期适应性考试数学试题（已下线）专题1 超级名圆 性质优先 练（已下线）技法提升3 正确数形结合，避免解题烦琐或漏解
名校
8 . 阿波罗尼斯(约公元前262-190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数
(
且
)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点
、
间的距离为
，动点
与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.
(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为，动点与、距离之比为，当、、不共线时，面积的最大值是（ ）.A． | B． | C． | D． |
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2021-10-24更新
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1967次组卷
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38卷引用：【校级联考】江西省名校（临川一中、南昌二中）2019届高三5月联合考数学（文）试题
【校级联考】江西省名校（临川一中、南昌二中）2019届高三5月联合考数学（文）试题江西省南昌市第二中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题北京市朝阳区2018届高三第一学期期末文科数学试题北京市一零一中学2018届高三3月月考数学（文）试题题组训练七 与圆有关的最值问题特训-2019届高中数学同步“教材变式+对接考点”题组高端训练（必修2）黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试理科数学试题黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试文科数学试题【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试理科数学试题【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试数学（文）试题【全国百强校】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019届高三上学期期末考试数学（理）试题福建省厦门市双十中学2019-2020学年高三上学期期中数学（文）试题广东省广州二中2018-2019学年高二下学期期中数学试题四川省绵阳南山中学2020-2021学年高二10月月考数学（文）数学试题（已下线）黄金卷14-【赢在高考·黄金20卷】备战2021年高考数学（文）全真模拟卷（新课标Ⅱ卷）山东济南市历城第二中学2020-2021学年高二下学期开学考试数学试题（已下线）专题07 直线和圆的方程综合练习-（新教材）2020-2021学年高二数学单元复习（人教A版选择性必修第一册）四川省成都市树德中学2021-2022学年高二上学期10月阶段性测试数学（理）试题（已下线）第2章 直线和圆的方程-2021-2022学年高二数学课后培优练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）数学与数学家安徽省合肥市第八中学蜀山分校2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题18 圆与方程-2022年高考数学一轮复习小题多维练（新高考版）广东省茂名市第五中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题广东省广州市铁一中学2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题福建省莆田第一中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题（已下线）热点10 直线与圆-2022年高考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）（已下线）期末综合检测卷一 -2021-2022学年高二数学同步单元AB卷（人教A版2019选择性必修第一册）广东省揭阳市普宁市华侨中学2021-2022学年高二上学期第三次月考数学试题河南省示范性高中2022届高三下学期阶段性模拟联考二理科数学试题河南省郑州市第二高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）专题27 直线与圆的综合应用-2北京市广渠门中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题浙江省金华市2022-2023学年高二上学期期中模拟数学试题安徽省淮南市兴学教育2023-2024学年高二上学期第一次综合测试数学试题安徽省淮南市兴学教育咨询有限公司2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题新疆和田地区策勒县第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题陕西省宝鸡市长岭中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）专题1 超级名圆 性质优先 练（已下线）专题1 超级名圆 性质优先 讲
名校
解题方法
9 . 中国是风筝的故乡，南方称“鹞”，北方称“鸢”，如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥
，其中
于，
，
，
平面
．
（1）求证：
；
（2）试验表明，当
时，风筝表现最好，求此时直线
与平面
所成角的正弦值．
，其中于，，，平面．（1）求证：
；（2）试验表明，当
时，风筝表现最好，求此时直线与平面所成角的正弦值．
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2021-07-08更新
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1238次组卷
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12卷引用：江西省赣抚吉名校2022届高三8月联合考试数学（理）试题
江西省赣抚吉名校2022届高三8月联合考试数学（理）试题江西省九江市柴桑区第一中学2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题江西省南昌市八一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题湖北省2020-2021学年高二下学期7月期末数学试题（已下线）一轮复习大题专练50—立体几何（线面角2）—2022届高三数学一轮复习浙江省杭州高级中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题黑龙江省鸡西市密山市第一中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题黑龙江省齐齐哈尔市第八中学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题（已下线）专题3 空间角与综合问题-学会解题之高三数学321训练体系【2022版】2023版 北师大版(2019) 选修第一册 名师精选卷 第十一单元 向量在立体几何中的应用 A卷（已下线）模块四 专题2 暑期结束综合检测2（基础卷）（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 交汇中国古代文化 微点4 与中国古代文化遗产有关的立体几何问题综合训练【基础版】
名校
10 . 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明.经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明.他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数
的点的轨迹叫做圆锥曲线；当
时，轨迹为椭圆；当
时，轨迹为抛物线；当
时，轨迹为双曲线.现有方程
表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）
的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2021-05-28更新
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1275次组卷
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8卷引用：江西省新余市第一中学2021-2022学年高二下学期开学考试数学（文）试题
