1 . 利用向量证明：如果一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线，那么这条直线垂直于这个平面（即垂直于这个平面中的任何直线）
已知：如图，、是平面内的两条相交直线，直线满足，．求证：．

   

2 . 如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在对角线AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ．求证：平面BCE．（用两种方法证明）

3 . 从函数角度看，可以看成以r为自变量的函数，其定义域是．
(1)画出函数的图象；
(2)求证：；
(3)试利用（2）的结论来证明：当n为偶数时，的展开式最中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，的展开式最中间两项的二项式系数相等且最大．

4 . 下列各题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？
（1）求证：当时，．
证明：假设当时，等式成立，即．
则当时，左边=右边．
所以当时，等式也成立．
由此得出，对任何，等式都成立．
（2）用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．
证明，①当时，左边=，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，即．则当时，
，
．
上面两式相加并除以2，可得
，
即当时，等式也成立．
由①②可知，等差数列的前n项和公式是

5 . 如图，在梯形中，，平面平面，四边形是平行四边形，，点在线段上.

（1）求证：平面.
（2）当为何值时，平面？证明你的结论.

6 . 已知函数，.
（1）求证：是奇函数并求的单调区间；
（2）分别计算合的值，由此概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数都成立的一个式，并加以证明.

7 . 设函数对任意的实数、都有,且当时,.
(1)在你学过的函数中,有没有满足上述条件的函数？若有,试举一例；
(2)试探求的值,并写出过程；
(3)求证：当时,；
(4)试猜想的单调性,并证明你的结论.

8 . 已知、、，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）由（1）、（2），将命题推广到一般情形（不作证明）．

9 . 如图所示,在四棱锥中,四边形是正方形,点分别是线段的中点.

（1）求证：;
（2）线段上是否存在一点,使得面面,若存在，请找出点并证明;若不存在,请说明理由.

10 . 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
（）判断集合是否是“和谐集”（不必写过程）．
（）请写出一个只含有个元素的“和谐集”，并证明此集合为“和谐集”．
（）当时，集合，求证：集合不是“和谐集”．