1 . 设整数，对于任一排列，记，求 的值，并计算取到最小值时排列的数目.

2 . 定义运算“”满足:为从向量按逆时针方向到向量的夹角，向量垂直于所确定的平面，当时，其垂直平面的方向向上；当时，其垂直平面的方向向下，下列说法一定正确的有__________.（填序号）
①；②；③；④；⑤当时，；⑥.

3 . 已知等差数列满足，设是数列的前项和，记．
(1)求；
(2)比较与的大小；
(3)如果函数对一切大于1的正整数，其函数值都小于零，那么应满足什么条件？

4 . 一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则称这个自然数为“可爱数”.比如，16就是一个“可爱数”.在自然数列中从1开始数起，第2023个“可爱数”是__________.

5 . 在正整数构成的等差数列1，2，3，4，…中划掉所有与35不互质的项，将余下的项按从小到大的顺序排成一个新的数列，再按照第k组含有k项进行分组：，则2012在第____________组．

6 . 已知对于任意实数、，都有，特别地，当、都为正数时，有.
(1)已知，求最小值为______.
(2)已知，求最大值为______.
(3)都是正数，，求最小值.

7 . 已知为方程的解，，
(1)求证：.
(2)求的值.

8 . 已知：底与腰之比为的等腰三角形为黄金三角形.

(1)如图1，即为黄金三角形尺规作图.已知，求长为______，为______.
(2)如图2，即为正五边形尺规作图.求证：五边形（所作图形）即为正五边形.
(3)请用另一种方法尺规作图作出正五边形.简要叙述作图方法，无需作图.

9 . 已知，表示两个夹角为的单位向量，为平面上的一个固定点，为这个平面上任意一点，当时，定义为点的斜坐标.设点的斜坐标为，则______.

10 . 求证：数列中一定有2022的倍数．