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| 共计 9 道试题

21-22高二下·北京西城·期末

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

分段函数模型的应用利用给定函数模型解决实际问题利润最大问题

解题方法

利用导数求解函数的最值

1 . 设某商品的利润只由生产成本和销售收入决定．生产成本C（单位：万元）与生产量x（单位：百件）间的函数关系是

；销售收入S（单位：万元）与生产量x间的函数关系是

．
(1)把商品的利润表示为生产量x的函数；
(2)为使商品的利润最大化，应如何确定生产量？

2022-07-09更新 | 1279次组卷 | 7卷引用：陕西省渭南市大荔县2023届高三上学期一模数学试题

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2019·重庆·一模

解答题-应用题 | 较难(0.4) |

线性回归相关指数的计算及分析

名校

2 . 武汉某科技公司为提高市场销售业绩，现对某产品在部分营销网点进行试点促销活动．现有两种活动方案，在每个试点网点仅采用一种活动方案，经统计，2018年1月至6月期间，每件产品的生产成本为10元，方案1中每件产品的促销运作成本为5元，方案2中每件产品的促销运作成本为2元，其月利润的变化情况如图①折线图所示．

（1）请根据图①，从两种活动方案中，为该公司选择一种较为有利的活动方案（不必说明理由）；
（2）为制定本年度该产品的销售价格，现统计了8组售价x_i（单位：元/件）和相应销量y（单位：件）（i＝1，2，…8）并制作散点图（如图②），观察散点图可知，可用线性回归模型拟合y与x的关系，试求y关于x的回归方程（系数精确到整数）；
参考公式及数据：

40，

660，

x_iy_i＝206630，

12968，

，

，
（3）公司策划部选

1200lnx+5000和

═

x²+1200两个模型对销量与售价的关系进行拟合，现得到以下统计值（如表格所示）：

		x²+1200
	52446.95	122.89
	124650
相关指数	R	R

相关指数：R²＝1

．
（i）试比较R₁²，R₂²的大小（给出结果即可），并由此判断哪个模型的拟合效果更好；
（ii）根据（1）中所选的方案和（i）中所选的回归模型，求该产品的售价x定为多少时，总利润z可以达到最大？

2019-12-22更新 | 1576次组卷 | 3卷引用：重庆市渝中区巴蜀中学2019-2020学年高三“一诊”模拟测试卷数学（文）试题

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22-23高三上·广东深圳·期中

解答题-应用题 | 较难(0.4) |

根据散点图判断是否线性相关求回归直线方程非线性回归求离散型随机变量的均值

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程利用均值和方差解决风险评估和决策型问题

3 . 红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，

与

（其中

…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中

，

参考数据（）

5215	17713	714	27	81.3	3.6

(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.

2023-09-22更新 | 3411次组卷 | 22卷引用：2024年高三模拟押题卷01

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2024·四川南充·三模

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

相关系数的意义及辨析相关系数的计算写出简单离散型随机变量分布列求离散型随机变量的均值

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列

4 . 近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润y（万元）的统计表．

月份	2023.11	2023.12	2024.01	2024.02	2024.03
月份编号x	1	2	3	4	5
利润y（万元）	27	23	20	17	13

(1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系；（若

，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；
(2)该纺织厂现有甲、乙两条流水线生产同一种产品．为对产品质量进行监控，质检人员先用简单随机抽样的方法从甲、乙两条流水线上分别抽取了4件、2件产品进行初检，再从中随机选取3件做进一步的质检，记抽到“甲流水线产品”的件数为X，试求X的分布列与期望．
附：参考数据：

相关系数

．

2024-05-15更新 | 884次组卷 | 2卷引用：四川省南充市2024届高三高考适应性考试（三诊）理科数学试题

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23-24高三上·广东深圳·阶段练习

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

写出简单离散型随机变量分布列计算条件概率求离散型随机变量的均值

名校

解题方法

根据步骤列出离散型随机变量的分布列利用条件概率公式求解条件概率

5 . 已知某足球赛事的决赛将在甲、乙两队之间进行.其规则为：每一场比赛均须决出胜负，按主、客场制先进行两场比赛（第一场在甲队主场比赛），若某一队在前两场比赛中均获胜，则该队获得冠军；否则，两队需在中立场进行第三场比赛，且其获胜方为冠军.已知甲队在主场、客场、中立场获胜的概率依次为

，

，且每场比赛的胜负均相互独立.
(1)当甲队获得冠军时，求决赛需进行三场比赛的概率；
(2)若主办方在决赛的前两场中共投资

（千万元），则能在这两场比赛中共盈利

（千万元）.如果需进行第三场比赛，且主办方在第三场比赛中投资

（千万元），则能在该场比赛中盈利

（千万元）.若主办方最多能投资一千万元，请以决赛总盈利的数学期望为决策依据，则其在前两场的投资额应为多少万元？

2024-01-02更新 | 692次组卷 | 6卷引用：河南省信阳市新县高级中学2024届高三考前数学仿真冲刺卷三

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2019·广东汕头·一模

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

用回归直线方程对总体进行估计正态曲线的性质

名校

6 . 我市南澳县是广东唯一的海岛县，海区面积广阔，发展太平洋牡蛎养殖业具有得天独厚的优势，所产的“南澳牡蛎”是中国国家地理标志产品，产量高、肉质肥、营养好，素有“海洋牛奶精品”的美誉．根据养殖规模与以往的养殖经验，产自某南澳牡蛎养殖基地的单个“南澳牡蛎”质量（克）在正常环境下服从正态分布

．
（1）购买10只该基地的“南澳牡蛎”，会买到质量小于20g的牡蛎的可能性有多大？
（2）2019年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x（人）与年收益增量y（万元）的数据如下：

人工投入增量x（人）	2	3	4	6	8	10	13
年收益增量y（万元）	13	22	31	42	50	56	58

该基地为了预测人工投入增量为16人时的年收益增量，建立了y与x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：

；
模型②：由散点图的样本点分布，可以认为样本点集中在曲线：

的附近，对人工投入增量x做变换，令

，则

，且有

．

（i）根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程（精确到0.1）；
（ii）根据下列表格中的数据，比较两种模型的相关指数

，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测人工投入增量为16人时的年收益增量．

回归模型	模型①	模型②
回归方程
	182.4	79.2

附：若随机变量

，则

，

；
样本

的最小二乘估计公式为：

，
另，刻画回归效果的相关指数

2019-03-13更新 | 1117次组卷 | 5卷引用：【市级联考】广东省汕头市2019年普通高考第一次模拟考试数学理试题

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2023·河南洛阳·模拟预测

解答题-应用题 | 容易(0.94) |

求回归直线方程相关系数的计算根据回归方程进行数据估计

名校

解题方法

最小二乘法求回归直线方程

7 . 网购是现代年轻人重要的购物方式，截止：2021年12月，我国网络购物用户规模达8.42亿，较2020年12月增长5968万，占网民整体的81.6%．某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额

（单位：万元）与时间第

年进行了统计得如下数据：

	1	2	3	4	5
	2.6	3.1	4.5	6.8	8.0

(1)依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合y与t的关系？请计算相关系数r并加以说明（计算结果精确到0.01）．（若

，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)试用最小二乘法求出利润y与时间t的回归方程，并预测当

时的利润额．
附：

，

．
参考数据：

，

．

2022-07-07更新 | 2051次组卷 | 9卷引用：河南省洛阳市强基联盟2023届新高三摸底大联考数学（文科）试题

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2017·全国·高考真题

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

根据频率分布表解决实际问题计算古典概型问题的概率

真题名校

8 . 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

最高气温	[10，15）	[15，20）	[20，25）	[25，30）	[30，35）	[35，40）
天数	2	16	36	25	7	4

以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．

2017-08-07更新 | 19069次组卷 | 66卷引用：2018届高考数学高考复习指导大二轮专题复习：专题七　概率与统计测试题7

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2010·湖北·高考真题

解答题-应用题 | 适中(0.65) |

成本最小问题

真题名校

解题方法

函数与方程思想转化与化归思想

9 . 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=

若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（Ⅰ）求k的值及f(x)的表达式．
（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．

2019-01-30更新 | 4244次组卷 | 129卷引用：2011届江苏省宿豫中学高三第二次模拟考试数学试卷

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