名校
1 . 设计一个随机试验,使一个事件的概率与某个未知数有关,然后通过重复试验,以频率估计概率,即可求得未知数的近似解,这种随机试验在数学上称为随机模拟法,也称为蒙特卡洛法.比如要计算一个正方形内部不规则图形的面积,就可以利用撒豆子,计算出落在不规则图形内部和正方形内部的豆子数比近似等于不规则图形面积与正方形面积比,从而近似求出不规则图形的面积.
统计学上还有一个非常著名的蒲丰投针试验:平面上间隔的平行线,向平行线间的平面上任意投掷一枚长为的针,通过多次试验可以近似求出针与任一平行线(以为例)相交(当针的中点在平行线外不算相交)的概率.以表示针的中点与最近一条平行线的距离,又以表示与所成夹角,如图甲,易知满足条件:,.
由这两式可以确定平面上的一个矩形,如图乙,在图甲中,当满足___________ (与,之间的关系)时,针与平行线相交(记为事件).可用从试验中获得的频率去近似,即投针次,其中相交的次数为,则,历史上有一个数学家亲自做了这试验,他投掷的次数是5000,相交的次数为2550次,,,依据这个试验求圆周率的近似值_________ .(精确到3位小数)
统计学上还有一个非常著名的蒲丰投针试验:平面上间隔的平行线,向平行线间的平面上任意投掷一枚长为的针,通过多次试验可以近似求出针与任一平行线(以为例)相交(当针的中点在平行线外不算相交)的概率.以表示针的中点与最近一条平行线的距离,又以表示与所成夹角,如图甲,易知满足条件:,.
由这两式可以确定平面上的一个矩形,如图乙,在图甲中,当满足
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解题方法
2 . 早在15世纪,达・芬奇就曾提出一种制作正二十面体的方法:如图1,先制作三张一样的黄金矩形,然后从长边的中点出发,沿着与短边平行的方向剪开一半,即,再沿着与长边平行的方向剪出相同的长度,即,将这三个矩形穿插两两垂直放置,连结所有顶点即可得到一个正二十面体,如图2.若黄金矩形的短边长为4,则按如上制作的正二十面体的表面积为______ ,其外接球的表面积为______ .
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2021-05-14更新
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615次组卷
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3卷引用:江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题
江苏省南京市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题苏教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第13章 本章达标检测(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】
3 . 如图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程:在上述发展过程中,无论是推广还是证明,都是从特殊到一般,如今,数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化.如将推广到,请你算一算的系数______ ,的系数______ .(用组合数表示即可)
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4 . 伟大的数学家高斯说过:几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题一位同学受到启发,借助上面两个相同的矩形图形,按以下步骤给出了不等式:的一种“图形证明”.
证明思路:
(1)图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积;
(2)图1中阴影区域的面积为,图2中,设,图2阴影区域的面积可表示为______ 用含,,,,的式子表示;
(3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式当且仅当,,,满足条件______ 时,等号成立.
证明思路:
(1)图1中白色区域面积等于右图中白色区域面积;
(2)图1中阴影区域的面积为,图2中,设,图2阴影区域的面积可表示为
(3)由图中阴影面积相等,即可导出不等式当且仅当,,,满足条件
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2018-01-22更新
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643次组卷
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2卷引用:北京市朝阳区2018届高三第一学期期末理科数学试题
5 . 中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图,某沙漏由上、下两个圆锥容器组成,圆锥底面圆的直径和高均为4cm,当细沙全部在上部时,其高度为圆锥高度的(细管长度忽略不计).若细沙的流速为每分钟1cm3,则上部细沙全部流完的时间约为___________ 分钟(结果精确到整数部分);若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则该沙堆的高为___________ cm.
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2021-07-09更新
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201次组卷
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3卷引用:陕西省商洛市2020-2021学年高二下学期期末理科数学试题
6 . 德国数学家高斯在证明“二次互反律”的过程中首次定义了取整函数,其中表示“不超过x的最大整数”,如,,.写出满足的一个x的值__________ ;关于x的方程的解集为__________ .
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2023-02-25更新
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279次组卷
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2卷引用:福建省泉州市2022-2023学年高一上学期期末教学质量监测数学试题
7 . “比特币”对于大家来说,已经再熟悉不过了.但是你知道比特币是通过哈希算法来加密的吗?实际上,哈希算法是一种加密技术.已知是最简单的哈希算法之一,它把一个较大数字的每一位改成它除以素数所得到的余数.如:对于进行,我们得到的哈希值为,那么对它进行,将得到________ .同时,我们容易发现使得后得到哈希值为的正整数共有________ 个(可以不写出具体数字,用类似于的表达式表示).
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