1 . 摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，稳坐于永乐桥之上的“天津之眼”作为世界上唯一一座建在桥上的摩天轮，其巧夺天工和奇思妙想确是当之无愧的“世界第一”.如图，永乐桥摩天轮的直径为，到达最高点时，距离地面的高度为，能看到方圆以内的景致，是名副其实的“天津之眼”.实际上，单从高度角度来看，天津之眼超越了曾大名鼎鼎的伦敦之眼而跃居世界第一.永乐桥摩天轮设置有48个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要.游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转到后距离地面的高度为，则转到后距离地面的高度为______，在转动一周的过程中，关于的函数解析式为______.

2 . 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯（）在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆.已知直角坐标系中，，，且满足，则点的运动轨迹方程为____________，点到直线的最小距离为__________.

3 . 古希腊著名数学家毕达格拉斯发现：数量为的石子，可以排成三角形（如图），我们把这样的数称为“三角形数”，依此规律，第个“三角形数”是，则第5个“三角形数”是______，前6个“三角形数”的和是________.

4 . “中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则____________；____________.

5 . 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形(圆)，筒车的半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现(即时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为(单位：)，且此时点距离水面的高度为(单位：)，则与的函数关系式为______，点第一次到达最高点需要的时间为______.
                 

6 . 如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥得到的几何体称半正多面体，亦称阿基米德多面体则该几何体共 __________ 个面，当该半正多面体的棱长为时，则其外接球的表面积为 __________ .

7 . 《数书九章》三斜求积术：“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约一，为实，一为从隅，开平方得积”.秦九韶把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，“术”即方法.以，，，分别表示三角形的面积，大斜，中斜，小斜；，，分别为对应的大斜，中斜，小斜上的高；则满足关系：.若在中，，，，根据上述公式，可以推出边的长为________，该三角形外接圆的面积为________.

8 . 二项式定理(Binomialtheorcm)，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年间提出：该定理给出两个数之和的整数次幂展开为类似项之和的恒等式.二项式的展开式中系数最大的项是_______；系数之和是_______.

9 . 在17世纪，有一个赌徒向法国著名数学家帕斯卡挑战，给他出了一道题目：甲、乙两个人赌博，他们两人获胜的机率相等，比赛规则是先胜三局者为赢家，一共进行五局，赢家可以获得100法郎的奖励.当比赛进行到第四局的时候，甲胜了两局，乙胜了一局，这时由于某些原因中止了比赛，那么如何分配这100法郎才比较公平？因为甲输掉后两局的可能性只有，也就是说甲赢得后两局或后两局中任意赢一局的概率为，甲有75%的期望获得100法郎；而乙期望赢得100法郎就得在后两局均击败甲，乙连续赢得后两局的概率为，即乙有25%的期望获得100法郎奖金.这个故事里出现了“期望”这个词，数学期望由此而来.若某随机事件的概率分布列满足，则______；若，则______.

10 . 我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得的两几何体的截面面积相等，那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的底面半径长是_________，母线长是_________.