名校
解题方法
1 . 假设视网膜为一个平面，光在空气中不折射，眼球的成像原理为小孔成像. 思考如下成像原理: 如图，地面内有圆
，其圆心在线段
上，且与线段交于不与
重合的点
，
地面，且
，
点为人眼所在处，视网膜平面与直线
垂直. 过点作平面
平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线
）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径
为____________ . 当圆的半径满足
时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为____________ .
，其圆心在线段上，且与线段交于不与重合的点，地面，且，点为人眼所在处，视网膜平面与直线垂直. 过点作平面平行于视网膜平面. 科学家已经证明，这种情况下圆上任意一点到点的直线与平面交点的轨迹（令为曲线）为椭圆或圆，且由于小孔成像，曲线与圆在视网膜平面上的影像是相似的，则当视网膜平面上的圆的影像为圆时，圆的半径为的半径满足时，视网膜平面上的圆的影像的离心率的取值范围为
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2024-05-09更新
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99次组卷
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2卷引用：四川省成都市实验外国语学校2023-2024学年高二上学期期末能力测评数学试题
名校
解题方法
2 . 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式，如：从装有编号为
的
个球的口袋中取出
个球
，共有
种取法.在种取法中，不取
号球有
种取法；取号球有
种取法.所以
.试运用此方法，写出如下等式的结果：
___________ .
的个球的口袋中取出个球，共有种取法.在种取法中，不取号球有种取法；取号球有种取法.所以.试运用此方法，写出如下等式的结果：
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2022-10-17更新
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1616次组卷
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9卷引用：浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题
浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题（已下线）6.2.3-6.2.4 组合 组合数（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）7.3 组合（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题（已下线）专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题20 计数原理(讲义)-1辽宁省丹东市五校2022-2023学年高三上学期联考数学试题辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题（已下线）专题18 排列组合与二项式定理
名校
解题方法
3 . 如图，在直角坐标系
中，圆
：
与
轴负半轴交于点，过点的直线
，
分别与圆交于
，
两点，设直线、的斜率分别为
、
.
（1）若
，
，求
的面积；
（2）若
，求证：直线
过定点.
中，圆：与轴负半轴交于点，过点的直线，分别与圆交于，两点，设直线、的斜率分别为、.（1）若
，，求的面积；（2）若
，求证：直线过定点.
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2020-11-07更新
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297次组卷
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2卷引用：江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第二次大考数学（理）试题
4 . 在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程
；
，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：
甲：曲线
关于
对称；
乙：曲线
关于原点对称；
丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
；
丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积
；
四位同学回答正确的有______ （选填“甲、乙、丙、丁”）.
；，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：甲：曲线
关于对称；乙：曲线
关于原点对称；丙：曲线
与坐标轴在第一象限围成的图形面积；丁：曲线
与坐标轴在第一象限围成的图形面积；四位同学回答正确的有
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2021-04-14更新
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625次组卷
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5卷引用：广西玉林市2020-2021学年高二下学期期末数学（文）试题
广西玉林市2020-2021学年高二下学期期末数学（文）试题广西玉林市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题东北三省四市教研联合体2021届高三第二次联合考试理科数学试题东北三省三校（哈师大附中、辽宁省实验中学、东北师范大学附属中学）2021届高三二模数学（理）试题（已下线）考点45 曲线与方程-备战2021年高考数学经典小题考前必刷（新高考地区专用）
5 . 如图是数学家
用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球和球
的半径分别为1和3，
，截面分别与球和球切于点
和
，则此椭圆的长轴长为___________ .
用来证明一个平面截圆锥得到的截面是椭圆的模型(称为丹德林双球模型)：在圆锥内放两个大小不同的小球，使得它们分别与圆锥侧面､截面相切，设图中球和球的半径分别为1和3，，截面分别与球和球切于点和，则此椭圆的长轴长为
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名校
6 . 1611年，约翰内斯·开普勒提出了“没有任何装球方式的密度比面心立方与六方最密堆积要高”的猜想.简单地说，开普勒猜想就是对空间中如何堆积最密圆球的解答.2017年，由匹兹堡大学数学系教授托马斯·黑尔斯（Thomas Hales）带领的团队发表了关于开普勒猜想证明的论文，给这个超过三百年的历史难题提交了一份正式的答案.现有大小形状都相同的若干排球，按照下面图片中的方式摆放（底层形状为等边三角形，每边4个球，共4层），这些排球共__________ 个，最上面球的球顶距离地面的高度约为__________ 
（排球的直径约为
）
（排球的直径约为）
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2020-04-24更新
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427次组卷
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2卷引用：江苏省南通市海安县曲塘中学2020-2021学年高二上学期阶段性测试二数学试题
名校
7 . 组合恒等式
，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求
和
的展开式中
的系数．前者的展开式中的系数为
；后者的展开式
中的系数为
.因为
，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：
______ ．
，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为.因为，则两个展开式中的系数也相等，即．请用“算两次”的方法化简下列式子：
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2019-07-01更新
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1177次组卷
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2卷引用：江西省南昌市八一中学、洪都中学、麻丘高中等七校2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题
8 . 设向量
，
，其中
，
，
，
，由不等式
恒成立，可以证明柯西不等式
（当且仅当
，即
时等号成立）．已知，
，若
恒成立，利用柯西不等式可求得实数
的取值范围为________________ ．
，，其中，，，，由不等式恒成立，可以证明柯西不等式（当且仅当，即时等号成立）．已知，，若恒成立，利用柯西不等式可求得实数的取值范围为
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