1 . 勾股定理,是几何学中一颗光彩夺目的明珠,被称为“几何学的基石”. 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一. 据记载,在公元前1120年,商高答周公曰“故折矩,以为勾广三,股修四,径隅五,既方之,外半其一矩,环而共盘,得成三四五,两矩共长二十有五,是谓积矩. ”因此,勾股定理在中国又称“商高定理”. 数百年后,希腊数学家毕达哥拉斯发现并证明了这个定理,因此“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”. 三国时期,吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明. 如图所示的勾股圆方图中,四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形. 若中间小正方形面积(阴影部分)是大正方形面积一半,则直角三角形中较小的锐角的大小为_________ .
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名校
解题方法
2 . 我们常常运用对同一个量算两次的方法来证明组合恒等式,如:从装有编号为的个球的口袋中取出个球,共有种取法.在种取法中,不取号球有种取法;取号球有种取法.所以.试运用此方法,写出如下等式的结果:___________ .
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2022-10-17更新
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1614次组卷
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9卷引用:浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题
浙江省强基联盟2022-2023学年高二实验班上学期10月联考数学试题(已下线)专题20 计数原理(讲义)-1辽宁省丹东市五校2022-2023学年高三上学期联考数学试题(已下线)6.2.3-6.2.4 组合 组合数(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(人教A版2019选择性必修第三册)(已下线)7.3 组合(练习)-2022-2023学年高二数学同步精品课堂(苏教版2019选择性必修第二册)辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试(二)数学试题(已下线)专题18 排列组合与二项式定理江苏省常州市第一中学2023-2024学年高二上学期期末质量调研数学试题(已下线)专题01 两个计数原理与排列组合(7类压轴题型)-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略(人教A版2019选择性必修第三册)
3 . 法国数学家费马于1640年提出了猜想:是质数.这种具有美妙形式的数被称为费马数,因为随着n的增大,迅速增大,所以要判断费马的猜想是否正确非常不容易,一直到1732年才被数学家欧拉算出,才证明费马的猜想是错误的.若数列满足,则满足的最小正整数_________ .
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2022-12-09更新
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134次组卷
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2卷引用:福建省永泰县城关中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题
4 . 正弦定理:三角形的各边和它所对角的__________ ,即_____ =____ =____ (R为外接圆的半径).
点拨:对的证明如下(R为外接圆的半径).
证明:设是的外接圆,直径.
如图①,当A为锐角时,连接,则.
又因为,所以.
如图②,当A为钝角时,连接,则.
因为,可得,所以.
当A为直角时,显然有.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有.
同理可证,所以.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
点拨:对的证明如下(R为外接圆的半径).
证明:设是的外接圆,直径.
如图①,当A为锐角时,连接,则.
又因为,所以.
如图②,当A为钝角时,连接,则.
因为,可得,所以.
当A为直角时,显然有.
综上所述,不论A是锐角、钝角或直角,总有.
同理可证,所以.
由此可知,三角形各边和它所对角的正弦的比相等,是一个定值,这个定值就是三角形外接圆的直径.
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名校
解题方法
5 . 在解决问题:“证明数集没有最小数”时可用反证法证明:
假设是中的最小数,则存在,
可得:,与假设中“a是A中的最小数”矛盾,
所以数集没有最小数.
那么对于问题:“证明数集,并且没有最大数”,也可以用反证法证明:我们可以假设是中的最大数,则存在,且,其中的一个值可以是__________ (用、表示),由此可知,与假设是中的最大数矛盾.所以数集没有最大数.
假设是中的最小数,则存在,
可得:,与假设中“a是A中的最小数”矛盾,
所以数集没有最小数.
那么对于问题:“证明数集,并且没有最大数”,也可以用反证法证明:我们可以假设是中的最大数,则存在,且,其中的一个值可以是
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2022-10-26更新
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181次组卷
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2卷引用:上海市进才中学2022-2023学年高一上学期10月月考数学试题
解题方法
6 . 三角形面积公式
(1)三角形的面积等于两边及两边夹角的正弦值之积的一半,即______ =______ .
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设,则有所以.同理,的面积还可以表示为和
(2)(请用正弦定理自行证明).
(1)三角形的面积等于两边及两边夹角的正弦值之积的一半,即
证明:建立如图所示的平面直角坐标系,设,则有所以.同理,的面积还可以表示为和
(2)(请用正弦定理自行证明).
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7 . (1)基本事实:平行于同一条直线的两条直线_______________ .
(2)等角定理
[微思考]如果两条直线和第三条直线成等角,那么这两条直线平行吗?
______________
(2)等角定理
文字语言 | 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 |
图形语言 | |
作用 | 判断或证明两个角相等或互补 |
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8 . 证明面面平行的一般方法有哪些?
________
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21-22高一·全国·课后作业
9 . (1)与平面有关的三个基本事实
(2)三个推论
基本事实 | 内容 | 图形 | 符号 | 作用 |
基本事实1 | 过 | A,B,C三点不共线存在唯一的使 | 用来确定一平面 | |
基本事实2 | 如果一条直线上的 | 用来证明直线在平面内 | ||
基本事实3 | 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 | 用来证明空间的点共线和线共点 |
(2)三个推论
推论 | 内容 | 图形 | 作用 |
推论1 | 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 | 确定平面的依据 | |
推论2 | 经过两条相交直线,有且只有一个平面 | ||
推论3 | 经过两条平行直线,有且只有一个平面 |
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10 . 像等这样分子为1的分数在算术上称为“单位分数”,数学史上常称为“埃及分数”.1202年意大利数学家斐波那契在他的著作《算盘术》中提到,任何真分数均可表示为有限个埃及分数之和,如.该结论直到1880年才被英国数学家薛尔维斯特严格证明,实际上,任何真分数分总可表示成①,这里,即不超过的最大整数,反复利用①式即可将化为若干个“埃及分数”之和.请利用上面的方法将表示成3个互不相等的“埃及分数”之和,则__________ .
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