1 . 对于数列，如果存在正整数，当任意正整数时均有，则称为的“项递增相伴数列”．若可取任意的正整数，则称为的“无限递增相伴数列”．
(1)已知，请写出一个数列的“无限递增相伴数列”，并说明理由？
(2)若满足，其中是首项的等差数列，当为的“无限递增相伴数列”时，求的通项公式：
(3)已知等差数列和正整数等比数列满足：，其中k是正整数，求证：存在正整数k，使得为的“2024项递增相伴数列”．

2 . 如图，直线与直线，分别与抛物线交于点A，B和点C，D（A，D在x轴同侧）．当经过T的焦点F且垂直于x轴时，．

   

(1)求抛物线T的标准方程；
(2)线段AC与BD交于点H，线段AB与CD的中点分别为M，N
①求证：M，H，N三点共线；
②若，求四边形ABCD的面积．

3 . 平面向量是数学中一个非常重要的概念，它具有广泛的工具性，平面向量的引入与运用，大大拓展了数学分析和几何学的领域，使得许多问题的求解和理解更加简单和直观，在实际应用中，平面向量在工程、物理学、计算机图形等各个领域都有广泛的应用，平面向量可以方便地描述几何问题，进行代数运算，描述几何变换，表述物体的运动和速度等，因此熟练掌握平面向量的性质与运用，对于提高数学和物理学的理解和能力，具有非常重要的意义，平面向量的大小可以由模来刻画，其方向可以由以轴的非负半轴为始边，所在射线为终边的角来刻画.设，则.另外，将向量绕点按逆时针方向旋转角后得到向量.如果将的坐标写成（其中，那么.根据以上材料，回答下面问题:

(1)若，求向量的坐标;
(2)用向量法证明余弦定理;
(3)如图，点和分别为等腰直角和等腰直角的直角顶点，连接DE，求DE的中点坐标.

4 . 若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；
(2)若关于的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列是一个“对数性凸数列”，求证：

5 . 在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，且在轴上截得的线段长为.
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知点在抛物线上，且在其对称轴右侧，点在抛物线的对称轴上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标；
(3)将抛物线向左平行移动3个单位得到抛物线，直线与交于两点，直线与交于两点，若分别为线段和线段的中点，连，求证：直线过定点.

6 . 如图，等边内有一动点是等边三角形（点在直线两侧），直线与直线交于点.

(1)判断的大小是否为定值？若是定值，求出其大小；若不是定值，请说明理由.
(2)若，求线段长的最小值.

7 . 如图，点是正方形的边上一动点（异于），连，以为对角线作正方形与交于点，连.

(1)求证：三点共线；
(2)若，求的值.

8 . 如图，等腰两腰分别交于点D，E，点A在外，点B，C在上（不与D，E重合），连结．已知，设．

(1)若，求的度数；
(2)若，求的值；
(3)设的周长分别为，求证：．

9 . 如图，已知为半圆O的直径，P为半圆上的一个动点（不含端点），以为一组邻边作，连接，设的中点分别为M、N，连接．

(1)试判断四边形的形状，并说明理由．
(2)若点P从点B出发，以每秒的速度，绕点O在半圆上逆时针方向运动，设运动时间为．
①是否存在这样的t，使得点Q落在半圆O内？若存在，请求出t的取值范围；若不存在，请说明理由．
②试求：当t为何值时，四边形的面积取得最大值？并判断此时直线与半圆O的位置关系（需说明理由）．

10 . 一地区某疾病的发病率为0.0004．现有一种化验方法，对真正患病的人，其化验结果99％呈阳性，对未患病者，化验结果99.9％呈阴性．
(1)若在该地区普查，求某人化验结果呈阳性的概率；并求化验结果呈阳性，某人没有患病的概率；
(2)根据该疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20％．为试验一种新药，在有关部门
批准后，某医院把此药给4个病人服用，试验方案为：若这4人中至少有2人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效．
（i）如果新药有效，把治愈率提高到了80％，求经试验认定该药无效的概率；
（ii）根据的值的大小解释试验方案是否合理．
参考数据：，